| Yhteenveto: | Todistetaan variaatio-ongelmissa hyödyllinen ja hyvin tunnettu
Pólyan ja Szegőn epäyhtälö, jonka mukaan Dirichlet'n
\(p\)-energia pienenee Sobolev-funktioiden Schwarzin symmetrisoinnissa.
Tämä voidaan muotoilla siten, että jos \(u \in W^{1,p}(\mathbb{R}^n)\),
\(1 \le p < \infty\) ja \(u^\star\) on funktion \(u\) vähenevä pallosymmetrinen
uudelleenjärjestys, niin pätee
\[
\int_{\mathbb{R}^n} |\nabla u^\star|^p\,dm_n \le \int_{\mathbb{R}^n} |\nabla u|^p\,dm_n.
\]
Schwarzin symmetrisoinnissa funktiota \(u\) kohti muodostetaan siis pallosymmetrinen
ja vähenevä funktio \(u^\star\) muuttamatta sen distribuutiofunktiota.
Näistä ominaisuuksista seuraa, että alkukuvajoukot \(\{u^\star > t\}\) ovat joukkojen
\(\{u > t\}\) kanssa samanmittaisia palloja. Tämä taas liittää symmetrisoinnin
luontevasti isoperimetriseen epäyhtälöön, jonka mukaan avaruuden \(\mathbb{R}^n\)
samanmittaisista (ja äärellismittaisista) osajoukoista palloilla on pienin reunan pintamitta.
Tämä on myös perimmäinen syy sille, miksi Pólyan ja Szegőn epäyhtälö on tosi.
|
|---|