| Yhteenveto: | Olkoon R kommutatiivinen rengas. Tämän tutkielman tarkoituksena on etsiä ylä- ja
alarajat äärellisviritteisen ideaalin I = (a1, . . . , an) ⊂ R minimaaliselle virittäjämäärälle.
Tärkeänä työkaluna toimii moduliteoria; modulit yleistävät sekä ideaalit että
vektoriavaruudet.
Jos joukko {a1, . . . , an} on vektoriavaruuden V virittäjäjoukko, jossa mikään alkioista
ai ei kuulu toisten virittäjien lineaariseen verhoon, on kyseinen joukko lineaarisesti
riippumaton virittäjäjoukko eli kanta. Tällöin kaikissa vektoriavaruuden V virittäjäjoukoissa
on vähintään n alkiota, ja kaikissa kannoissa niitä on tasan n kappaletta.
Tarpeettomien virittäjien poistaminen ei ideaalin ollessa kyseessä kuitenkaan riitä.
Vaikka mitään ideaalin virittäjistä ai ei voitaisi poistaa, pienempi virittäjäjoukko
saattaa silti olla olemassa.
Erityinen kokoelma renkaita, joissa ideaalin minimaalisen virittäjämäärän selvittäminen
on verrattain helppoa, on lokaalit renkaat. Hieman yleisemmin: kun R on lokaali
rengas, niin äärellisviritteisen R-modulin minimaalinen virittäjämäärä on sama kuin
tietyn renkaaseen ja moduliin liittyvän vektoriavaruuden dimensio. Todistus pohjautuu
moduliteorian tulokseen, joka tunnetaan nimellä Nakayaman lemma. Lokaalien
renkaiden tapauksessa kysymys voidaan siten palauttaa vektoriavaruuden dimension
selvittämiseen.
Renkaan lokalisaatio syntyy samantapaisella (vaikkakin hieman yleisemmällä) konstruktiolla
kuin rationaaliluvut. Sen avulla voidaan löytää alaraja ideaalin minimaaliselle
virittäjämäärä alle renkaassa, joka ei ole lokaali. Jokaisella ideaalilla on lokalisaatiossa
sitä vastaava ideaali, jota kutsutaan sen laajennukseksi, ja laajennuksen
minimaalinen virittäjämäärä on pienempi tai yhtä suuri kuin alkuperäisen ideaalin
minimaalinen virittäjämäärä. Alkuideaalin suhteen tehty lokalisaatio on lokaali rengas,
joten yllä esitetty tulos antaa halutun alarajan. Jos tämän suuruinen virittäjäjoukko
on löydetty, voidaan näin todistaa että se on minimaalinen siinä mielessä, että
pienempiä virittäjäjoukkoja ei ole olemassa.
Mikäli R on Noetherin rengas, voidaan sen ideaalien minimaaliselle virittäjämäärälle
löytää myös yläraja. Tässä tekstissä esitellään Otto Forsterin tulos. Jokaiselle äärellisviritteiselle
R-modulille E määritellään luku b(E) siten, että E voidaan virittää
joukolla alkioita, joita on b(E) kappaletta. Myös tämä tulos hyödyntää lokalisaatiota,
ja sen lisäksi Krullin dimensiokäsitettä ja Zariski-topologiaa.
Käsitteiden selventämiseksi käytetyistä esimerkeistä suurin osa käsittelee polynomirenkaita.
|
|---|