| Yhteenveto: | Eukleides Aleksandrialainen oli kreikkalainen matemaatikko, joka loi noin 300 eaa.
euklidisen geometrian. Hän julkaisi euklidisen geometrian perustana olevat aksioomat
ja perusolettamukset teoksessaan Alkeet. Eukleideen teos on säilynyt koulujen geometrian
opetuksen pohjana jopa 1800–luvulle asti. Päälähteenä tutkielmassa on käytetty
Eukleideen teoksen Pekka Aschanin suomennosta ja sen nykysuomennosta kommentteineen,
jonka on toimittanut Lauri Kahanpää teoksessa Alkeet, Kuusi ensimmäistä
kirjaa eli tasogeometria.
Tutkielma tarkastelee Eukleideen muodostamaa teoriaa. Tavoitteena on ratkaista
neljä vaativaa ympyrän ja kolmion välistä ongelmaa Eukleideen teorian pohjalta.
Eukleideen aksioomajärjestelmä perustuu viiteen aksioomaan, joiden perusteella geometria
pyritään määrittelemään täydellisesti. Alussa esitellään aksioomajärjestelmän
kannalta tärkeät yleiset käsitteet, minkä jälkeen kerrotaan lyhyesti aksioomajärjestelmästä
ja sen vaatimuksista sekä esitellään Eukleideen viisi aksioomaa.
Tutkielman tärkein teema on tarvittavan euklidisen teorian kokoaminen geometristen
ongelmien ratkaisemiseksi. Tutkielman seuraavassa vaiheessa tarkastellaan kolmioiden
ja ympyröiden geometrisia ominaisuuksia. Lisäksi esitellään kyseisten ongelmien
ratkaisemisen kannalta tarpeellisia käytännön esimerkkejä, jotka perustuvat
harppi–viivain konstruktioihin. Teorian pohjalta ratkaistaan näamä neljä ongelmaa:
annetun ympyrän sisään on piirrettävä kolmio, annetun ympyrän ympäri on piirrettävä
kolmio, annetun kolmion sisään on piirrettävä ympyrä sekä annetun kolmion
ympäri on piirrettävä ympyrä.
Tarkastelun lopuksi esitellään Eukleideen aksioomajärjestelmää nykyaikaisempi
Hilbertin aksioomajärjestelmä euklidiselle geometrialle. David Hilbertin aksioomaj¨arjestelm¨a
julkaistiin vuonna 1899 ja se on huomattavasti laajempi ja tarkempi kuin
Eukleideen aksioomajärjestelmä. Lopuksi verrataan Eukleideen aksioomajärjestelmää
Hilbertin aksioomajärjestelmään ja erityisesti tarkastellaan Eukleideen viidettä aksioomaa.
Vertailun tarkoituksena on havainnollistaa Eukleideen teorian mahdollisia
ongelmakohtia.
|
|---|