| Summary: | Tässä tutkielmassa osoitetaan ennestään tunnettu pintoihin liittyvä tulos, jonka mukaan epäkompaktin pinnan perusryhmä on vapaa. Todistus
pohjautuu tietoon siitä, että jokaisella pinnalla on olemassa niin sanottu
kolmiointi. Pinnan kolmiointia hyödyntäen pinta tyhjennetään sopivilla
sisäkkäisillä kompakteilla reunallisilla pinnoilla siten, että pinnan perus
ryhmä saadaan näiden kompaktien reunallisten pintojen sisäkkäisten pe
rusryhmien yhdisteenä. Kompakti reunallinen pinta osoitetaan homotopia
ekvivalentiksi graafin kanssa deformaatioretraktoimalla reunallinen pinta
graafiksi reunallisen pinnan kolmiointia hyödyntäen. Koska homotopiaekvi
valenttien avaruuksien perusryhmät ovat isomorfiset, saadaan kompaktin
reunallisen pinnan perusryhmä osoitettua vapaaksi osoittamalla, että graafin perusryhmä on vapaa ryhmä. Graafin perusryhmä osoitetaan vapaaksi
ryhmäksi käyttäen tietoa niin sanotun maksimaalisen puun olemassaolosta.
Todistuksessa käytetään lisäksi Van Kampenin teoreemaa, joka myös todistetaan. Tutkielman tulos sanoo, että esimerkiksi poistamalla kompaktilta
pinnalta topologinen Cantorin joukko saadaan pinta, jonka perusryhmä
on vapaa, mikä itsessään ei ole intuitiivisesti selvää.
|
|---|