| Summary: | Tämän pro gradu -tutkielman tarkoituksena on esitellä Diofantoksen approksimoinnin tuloksia ja antaa todistus Rothin lauseelle.
Diofantoksen approksimoinnissa ollaan kiinnostuneita siitä, kuinka hyvin irrationaalilukuja voidaan arvioida rationaaliluvuilla.
Näiden rationaalilukuarvioiden määrän perusteella voidaan antaa riittävä ja välttävä ehto luvun irrationaalisuudesta. Osoittautuu, että ainoastaan irrationaaliluvuilla on ääretön määrä ''hyviä'' arvioita. Tämän ehdon riittävyys ja välttävyys todistetaan ja lisäksi esitellään tehokas menetelmä näiden arvioiden laskemiseksi ketjumurtolukujen avulla.
Kun on todettu, että näitä hyviä arvioita on olemassa ja niitä voidaan laskea, voidaan kysyä, olisiko niitä mahdollista löytää vielä tehokkaammin. Tätä ongelmaa lähestyy Liouvillen lause, joka antaa rajan algebrallisten lukujen rationaaliarvioiden hyvyydelle ja mahdollistaa transkendenttilukujen konstruoinnin. Lopulta ratkaisun ongelmaan antaa Rothin lause, jonka nojalla vastaus on kielteinen algebrallisten lukujen kohdalla. Tutkielman toisen puoliskon pääpaino on Rothin lauseen todistuksessa.
Lisäksi tutkielmassa esitellään muutama Rothin lauseen sovellus ja tutustutaan siihen, kuinka lausetta voitaisiin parantaa.
|
|---|