| Summary: | Metristen virtojen teoria pyrkii yleistämään De Rhamin ideoiman ja Federerin ja Flemingin muovaaman euklidisten virtojen teorian avaruuksille ilman ennalta määrättyä sileää rakennetta. Keskeinen idea on korvata sileät differentiaalimuodot Lipschitz-monikoilla. Muodollisesti metrinen virta on äärellisen massan multilineaarinen kuvaus Lipschitz-monikkojen avaruudelta reaaliluvuille, joka toteuttaa halutut jatkuvuus- ja lokaalisuusominaisuudet.
Tutkielman päätulos on hajotelmalause asyklisille yksiulotteisille normaalivirroille. Lyhykäisyydessään lause kertoo, että jokainen asyklinen yksiulotteinen normaalivirta täydellisessä metrisessä avaruudessa on jonkin äärellisen ja suoristuville injektiivisille käyrille keskittyneen Borel-mitan indusoima. Heikenetty versio hajotelmalauseesta yleistyy kaikille yksiulotteisille normaalivirroille ja antaa siten yhteyden avaruuden käyrien ja sen normaalivirtojen välille.
Ensimmäisessä luvussa kerrataan mittateorian perusteita. Luvussa kaksi käsitellään metristen virtojen perusteet, ja luku kolme sisältää todistuksen normaalivirtojen kompaktisuustulokselle. Neljäs luku esittelee käyrien indusoimat virrat, jotka toimivat hajotelman rakennuspalasina, ja luvussa viisi tutustutaan mittoihin käyrien avaruudella. Kuudes luku rakentuu päätuloksen todistuksen ympärille. Seitsemännessä luvussa todistetaan hajotelmalauseen heikompi versio kaikille yksiulotteisille normaalivirroille.
|
|---|