Geodeesinen sädemuunnos - Niemi, Tuomas (2025)
Tässä tutkielmassa tarkastellaan geodeesista sädemuunnosta ja siihen liittyviä integraalimuunnoksia. Geodeesinen sädemuunnos on Riemannin geometrian vastine klassiselle röntgensädemuunnokselle, jota hyödynnetään esimerkiksi lääketieteellisessä kuvantamisessa. Erona tähän klassiseen sädemuunnokseen, geodeesisessa sädemuunnoksessa integroidaan annettua funktiota kaikkien Riemannin moniston M maksimaalisten geodeesien yli. Mielekkäitä kysymyksiä geodeesiselle sädemuunnokselle ovat esimerkiksi sen injektiivisyys ja jatkuvuus. Injektiivisyyttä koskevissa kysymyksissä halutaan siis selvittää voidaanko annettu funktio selvittää yksikäsitteisesti sen integraaleista kaikkien geodeesien yli. Jatkuvuuskysymyksessä puolestaan tarkastellaan ovatko sädemuunnoksella kuvatut funktiot lähellä toisiaan, jos alkuperäiset funktiot ovat. Vastaus tähän kysymykseen riippuu oleellisesti tarkasteltavasta funktioavaruudesta, ja siitä missä mielessä funktioiden halutaan olevan lähellä toisiaan. Tutkielmassa käsitellään aluksi yksinkertaisempaa tapusta geodeesisesta sädemuunnoksesta, jossa tarkasteltavana on tason yksikkökiekko ja Riemannin metriikka on euklidinen metriikka kerrottuna jollain radiaalisella funktiolla c(r). Luvussa osoitetaan, että jos geodeesit toteuttavat niin kutsutun Herglotz-ehdon, niin funktio c voidaan selvittää, kun tunnetaan maksimaalisten geodeesien pituudet. Tämä johtaa luonnollisella tavalla tarkastelemaan Abelin muunnokseksi kutsuttua integraalimuunnosta, jolle osoitetaan joitakin kuvausominaisuuksia seuraavassa luvussa. Viimeisessä luvussa syvennytään geodeesiseen sädemuunnokseen yleisemmin ja osoitetaan tutkielman päätulos: geodeesinen sädemuunnos on injektiivinen kompaktisti kannetuille sileille funktioille kaksiulotteisilla yksinkertaisilla monistoilla.