Jordanin käyrä ja yhdenmuotoiset kolmiot - Pörhö, Hanna (2024)
Tiedetään, että millä tahansa ympyrällä on aina minkä tahansa annetun kolmion kanssa yhdenmuotoisen kolmion kärkipisteet. Tämä voidaan tehdä konstruoimalla kolmion kärkipisteiden kautta ympyrä ja skaalaamalla saatu ympyrä sekä sillä oleva kolmio oikeaan kokoon. Mutta entä jos ympyrän tilalla olisikin jokin muu suljettu käyrä? Esimerkiksi ellipsi tai jokin (säännöllinen) monikulmio. Tässä tutkielmassa näytetään, että käyrän muodolla ei ole väliä, kunhan kyseessä on yksinkertainen suljettu käyrä. Tällöin käyrältä löytyy annetun kolmion kanssa yhdenmuotoisen kolmion kärkipisteet. Tämä saadaan näytettyä mille tahansa annetulle kolmiolle. Erityisesti miltä tahansa yksinkertaiselta suljetulta käyrältä löydetään aina tasasivuinen tai tasakylkinen kolmio. Lisäksi työssä tarkastellaan kuinka monta annetun kolmion kanssa yh denmuotoista kolmioita käyrältä löytyy. Niitä on käyrällä äärettömästi, sillä huolimatta siitä kuinka pientä käyrän osaa tarkastellaan, niin sieltä silti löytyy yhdenmuotoisen kolmion kärkipiste. Tässä tutkielmassa yksinkertaisen suljetun käyrän ei oleteta olevan millään tavalla säännöllinen, mikä tuo haasteita todistuksiin. Ei esimerkiksi oleteta, että käyrä olisi symmetrinen tai että käyrällä olisi tangentti kaikissa pisteissä. Siitä syystä todistus sille, että käyrältä löytyy äärettömän monta annetun kolmion kanssa yhdenmuotoista kolmiota, on pilkottu muutamaan eri tapaukseen riippuen millainen käyrä on kyseessä. Tutkielman aiheeseen liittyy myös kirjoitushetkellä avoin ongelma. Löytyykö yksinkertaiselta suljetulta käyrältä aina neliö? Tähän kysymykseen ei tässä tutkielmassa perehdytä, mutta se on otettu johdannossa huomioon lyhyesti.