| Yhteenveto: | Tässä tutkielmassa tarkastellaan sekä geodeettisen sädemuunnoksen että valonsädemuunnoksen injektiivisyyttä. Sädemuunnokset ovat integraalioperaattoreita, jotka muuttavat moniston \(M\) kuvauksen \(f\) funktioksi \(If\) moniston \(M\) geodeesien joukkoon siten, että \(If(\gamma)\) on kuvauksen \(f\) integraali geodeesin \(\gamma\) yli. Sädemuunnokset ovat lineaarisia, jolloin injektiivisyys voidaan tarkistaa osoittamalla, että \(\ker I=\{0\}\).
Tutkielman yhtenä päätuloksena todistetaan geodeettisen sädemuunnoksen injektiivisyys yksinkertaisella Riemannin monistolla kompaktisti kannetuille funktioille. Todistus tapahtuu muodostamalla funktiosta \(f\in\ker I\) pallonkuorikimpun osittaisdifferentiaaliyhtälö, jolla osoitetaan olevan yksikäsitteinen ratkaisu, josta seuraa, että \(f=0\). Osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisu tapahtuu hyödyntämällä Pestovin identiteettinä tunnettua energiaidentiteettiä.
Tutkielman viimeisessä osassa osoitetaan, että Lorentzin tulomonistolla \([0,T]\times M\), missä \(M\) on Riemannin monisto, valonsädemuunnoksen injektiivisyyden tarkastelu voidaan palauttaa Riemannin monistolle kompaktisti kannettujen funktioiden ja 1-muotojen tapauksessa. Erityisesti valonsädemuunnos on injektiivinen, jos geodeettinen sädemuunnos on injektiivinen Riemannin monistolla. Palauttaminen tapahtuu käyttämällä Fourier-muunnosta aikakoordinaatin suhteen sekä hyödyntämällä Paley-Wienerin lausetta, jonka mukaan kompaktisti kannetun funktion Fourier-muunnos on reaalianalyyttinen.
|
|---|