Kolmiulotteiset isometriat

Tämän tutkielman tarkoituksena on tarkastella kolmiulotteisen avaruuden isometrioita eli kuvauksia, jotka säilyttävät pisteparien etäisyydet, sekä tetraedrin symmetriaryhmää. Symmetriaryhmä tarkoittaa kuvauksia, jotka kuvaavat tetraedrin takaisin itsekseen. Kolmiulotteisen avaruuden isometriat ovat...

Full description

Bibliographic Details
Main Author: Kannisto, Erika
Other Authors: Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta, Faculty of Sciences, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Department of Mathematics and Statistics, Jyväskylän yliopisto, University of Jyväskylä
Format: Master's thesis
Language:fin
Published: 2024
Subjects:
Online Access: https://jyx.jyu.fi/handle/123456789/96167
_version_ 1826225744020242432
author Kannisto, Erika
author2 Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Faculty of Sciences Matematiikan ja tilastotieteen laitos Department of Mathematics and Statistics Jyväskylän yliopisto University of Jyväskylä
author_facet Kannisto, Erika Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Faculty of Sciences Matematiikan ja tilastotieteen laitos Department of Mathematics and Statistics Jyväskylän yliopisto University of Jyväskylä Kannisto, Erika Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Faculty of Sciences Matematiikan ja tilastotieteen laitos Department of Mathematics and Statistics Jyväskylän yliopisto University of Jyväskylä
author_sort Kannisto, Erika
datasource_str_mv jyx
description Tämän tutkielman tarkoituksena on tarkastella kolmiulotteisen avaruuden isometrioita eli kuvauksia, jotka säilyttävät pisteparien etäisyydet, sekä tetraedrin symmetriaryhmää. Symmetriaryhmä tarkoittaa kuvauksia, jotka kuvaavat tetraedrin takaisin itsekseen. Kolmiulotteisen avaruuden isometriat ovat samat kuin tason isometriat: siirto, kierto, peilaus ja siirtopeilaus. Nämä isometriat muodostavat sekä tasossa että kolmiulotteisessa avaruudessa ryhmän. Koska tavoitteena on tarkastella tetraedrin symmetriaryhmää, halutaan valita ne isometriat, jotka kuvaavat tetraedrin itsekseen. Tätä varten ainakin origon pitää pysyä paikoillaan, joten siirrot ja siirtopeilaukset ovat poissa laskuista. Kuitenkaan kaikki peilaukset tai kierrotkaan eivät pidä origoa paikoillaan; vain ne joiden akselit kulkevat origon läpi. Kutsutaan näitä isometrioita pallogeometrian isometrioiksi. Pallogeometriassa liikutaan yksikköpallon eli pallon, jonka säde on yksi pinnalla. Peilaukset pallogeometriassa voidaan ajatella siten, että peilausakselina on isoympyrä. Isoympyrä on tason, jonka kulkee origon läpi sekä pallokuoren leikkaus. Peilauksiin liittyy kiinteästi myös kolmen peilauksen lause, jonka mukaan jokainen pallogeometrian isometria voidaan esittää yhden, kahden tai kolmen peilauksen yhdisteenä. Kierrot ovat kahden peilauksen yhdisteitä. Yleisimpien kiertojen lausekkeet voidaan päätellä tason kiertojen esitysten avulla, mutta se ei ole tehokas tai tarkka tapa. Tällöin otetaan käyttöön kvaterniot eli kompleksikertoimiset kaksi kertaa kaksi -matriisit, joiden avulla kierrot saadaan esitettyä. Kvaternioiden myötä päästään tutustumaan kompleksilaskentaan, kun kvaterniot määritellään sekä neliulotteiseen että kolmiulotteiseen avaruuteen ja osoitetaan, että kvaterniot muodostavat jakorenkaan. Nämä tiedot yhdistämällä löydetään kuvaus, joka kuvaa pallogeometrian ja yleisemmin kolmiulotteisen avaruuden kierrot. Tutkielman lopuksi tarkastellaan tetraedrin symmetriaryhmän kiertoja ja miten ne esitetään kvaternioiden avulla. Kiertoja on kolmenlaisia ja yhteensä 12. Ensinnäkin on niin sanottu nollakierto eli tetraedri, jota ei ole kierretty. Tätä kutsutaan neutraalialkioksi. Toinen kiertotyyppi on niin sanotut puolikierrot, joissa kierretään 180 asteen verran ja näitä kiertoja on kolme. Viimeinen kiertotyyppi on niin sanotut kolmasosakierrot, joissa kierretään 120 asteen verran ja näitä on yhteensä kahdeksan.
first_indexed 2024-06-26T20:05:37Z
format Pro gradu
free_online_boolean 1
fullrecord [{"key": "dc.contributor.advisor", "value": "Rajala, Kai", "language": "", "element": "contributor", "qualifier": "advisor", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.author", "value": "Kannisto, Erika", "language": "", "element": "contributor", "qualifier": "author", "schema": "dc"}, {"key": "dc.date.accessioned", "value": "2024-06-26T10:40:14Z", "language": null, "element": "date", "qualifier": "accessioned", "schema": "dc"}, {"key": "dc.date.available", "value": "2024-06-26T10:40:14Z", "language": null, "element": "date", "qualifier": "available", "schema": "dc"}, {"key": "dc.date.issued", "value": "2024", "language": "", "element": "date", "qualifier": "issued", "schema": "dc"}, {"key": "dc.identifier.uri", "value": "https://jyx.jyu.fi/handle/123456789/96167", "language": null, "element": "identifier", "qualifier": "uri", "schema": "dc"}, {"key": "dc.description.abstract", "value": "T\u00e4m\u00e4n tutkielman tarkoituksena on tarkastella kolmiulotteisen avaruuden isometrioita eli kuvauksia, jotka s\u00e4ilytt\u00e4v\u00e4t pisteparien et\u00e4isyydet, sek\u00e4 tetraedrin symmetriaryhm\u00e4\u00e4. Symmetriaryhm\u00e4 tarkoittaa kuvauksia, jotka kuvaavat tetraedrin takaisin itsekseen. Kolmiulotteisen avaruuden isometriat ovat samat kuin tason isometriat: siirto, kierto, peilaus ja siirtopeilaus. N\u00e4m\u00e4 isometriat muodostavat sek\u00e4 tasossa ett\u00e4 kolmiulotteisessa avaruudessa ryhm\u00e4n. Koska tavoitteena on tarkastella tetraedrin symmetriaryhm\u00e4\u00e4, halutaan valita ne isometriat, jotka kuvaavat tetraedrin itsekseen. T\u00e4t\u00e4 varten ainakin origon pit\u00e4\u00e4 pysy\u00e4 paikoillaan, joten siirrot ja siirtopeilaukset ovat poissa laskuista. Kuitenkaan kaikki peilaukset tai kierrotkaan eiv\u00e4t pid\u00e4 origoa paikoillaan; vain ne joiden akselit kulkevat origon l\u00e4pi. Kutsutaan n\u00e4it\u00e4 isometrioita pallogeometrian isometrioiksi. Pallogeometriassa liikutaan yksikk\u00f6pallon eli pallon, jonka s\u00e4de on yksi pinnalla. Peilaukset pallogeometriassa voidaan ajatella siten, ett\u00e4 peilausakselina on isoympyr\u00e4. Isoympyr\u00e4 on tason, jonka kulkee origon l\u00e4pi sek\u00e4 pallokuoren leikkaus. Peilauksiin liittyy kiinte\u00e4sti my\u00f6s kolmen peilauksen lause, jonka mukaan jokainen pallogeometrian isometria voidaan esitt\u00e4\u00e4 yhden, kahden tai kolmen peilauksen yhdisteen\u00e4. Kierrot ovat kahden peilauksen yhdisteit\u00e4. Yleisimpien kiertojen lausekkeet voidaan p\u00e4\u00e4tell\u00e4 tason kiertojen esitysten avulla, mutta se ei ole tehokas tai tarkka tapa. T\u00e4ll\u00f6in otetaan k\u00e4ytt\u00f6\u00f6n kvaterniot eli kompleksikertoimiset kaksi kertaa kaksi -matriisit, joiden avulla kierrot saadaan esitetty\u00e4. Kvaternioiden my\u00f6t\u00e4 p\u00e4\u00e4st\u00e4\u00e4n tutustumaan kompleksilaskentaan, kun kvaterniot m\u00e4\u00e4ritell\u00e4\u00e4n sek\u00e4 neliulotteiseen ett\u00e4 kolmiulotteiseen avaruuteen ja osoitetaan, ett\u00e4 kvaterniot muodostavat jakorenkaan. N\u00e4m\u00e4 tiedot yhdist\u00e4m\u00e4ll\u00e4 l\u00f6ydet\u00e4\u00e4n kuvaus, joka kuvaa pallogeometrian ja yleisemmin kolmiulotteisen avaruuden kierrot. Tutkielman lopuksi tarkastellaan tetraedrin symmetriaryhm\u00e4n kiertoja ja miten ne esitet\u00e4\u00e4n kvaternioiden avulla. Kiertoja on kolmenlaisia ja yhteens\u00e4 12. Ensinn\u00e4kin on niin sanottu nollakierto eli tetraedri, jota ei ole kierretty. T\u00e4t\u00e4 kutsutaan neutraalialkioksi. Toinen kiertotyyppi on niin sanotut puolikierrot, joissa kierret\u00e4\u00e4n 180 asteen verran ja n\u00e4it\u00e4 kiertoja on kolme. Viimeinen kiertotyyppi on niin sanotut kolmasosakierrot, joissa kierret\u00e4\u00e4n 120 asteen verran ja n\u00e4it\u00e4 on yhteens\u00e4 kahdeksan.", "language": "fi", "element": "description", "qualifier": "abstract", "schema": "dc"}, {"key": "dc.description.provenance", "value": "Submitted by Miia Hakanen (mihakane@jyu.fi) on 2024-06-26T10:40:14Z\nNo. of bitstreams: 0", "language": "en", "element": "description", "qualifier": "provenance", "schema": "dc"}, {"key": "dc.description.provenance", "value": "Made available in DSpace on 2024-06-26T10:40:14Z (GMT). No. of bitstreams: 0\n Previous issue date: 2024", "language": "en", "element": "description", "qualifier": "provenance", "schema": "dc"}, {"key": "dc.format.extent", "value": "39", "language": "", "element": "format", "qualifier": "extent", "schema": "dc"}, {"key": "dc.language.iso", "value": "fin", "language": null, "element": "language", "qualifier": "iso", "schema": "dc"}, {"key": "dc.rights", "value": "In Copyright", "language": "en", "element": "rights", "qualifier": null, "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.other", "value": "isometriat", "language": "", "element": "subject", "qualifier": "other", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.other", "value": "kiertoryhm\u00e4", "language": "", "element": "subject", "qualifier": "other", "schema": "dc"}, {"key": "dc.title", "value": "Kolmiulotteiset isometriat", "language": "", "element": "title", "qualifier": null, "schema": "dc"}, {"key": "dc.type", "value": "master thesis", "language": null, "element": "type", "qualifier": null, "schema": "dc"}, {"key": "dc.identifier.urn", "value": "URN:NBN:fi:jyu-202406265011", "language": null, "element": "identifier", "qualifier": "urn", "schema": "dc"}, {"key": "dc.type.ontasot", "value": "Master\u2019s thesis", "language": "en", "element": "type", "qualifier": "ontasot", "schema": "dc"}, {"key": "dc.type.ontasot", "value": "Pro gradu -tutkielma", "language": "fi", "element": "type", "qualifier": "ontasot", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.faculty", "value": "Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta", "language": "fi", "element": "contributor", "qualifier": "faculty", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.faculty", "value": "Faculty of Sciences", "language": "en", "element": "contributor", "qualifier": "faculty", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.department", "value": "Matematiikan ja tilastotieteen laitos", "language": "fi", "element": "contributor", "qualifier": "department", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.department", "value": "Department of Mathematics and Statistics", "language": "en", "element": "contributor", "qualifier": "department", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.organization", "value": "Jyv\u00e4skyl\u00e4n yliopisto", "language": "fi", "element": "contributor", "qualifier": "organization", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.organization", "value": "University of Jyv\u00e4skyl\u00e4", "language": "en", "element": "contributor", "qualifier": "organization", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.discipline", "value": "Matematiikan opettajankoulutus", "language": "fi", "element": "subject", "qualifier": "discipline", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.discipline", "value": "Teacher education programme in Mathematics", "language": "en", "element": "subject", "qualifier": "discipline", "schema": "dc"}, {"key": "yvv.contractresearch.funding", "value": "0", "language": "", "element": "contractresearch", "qualifier": "funding", "schema": "yvv"}, {"key": "dc.type.coar", "value": "http://purl.org/coar/resource_type/c_bdcc", "language": null, "element": "type", "qualifier": "coar", "schema": "dc"}, {"key": "dc.rights.accesslevel", "value": "openAccess", "language": null, "element": "rights", "qualifier": "accesslevel", "schema": "dc"}, {"key": "dc.type.publication", "value": "masterThesis", "language": null, "element": "type", "qualifier": "publication", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.oppiainekoodi", "value": "4041", "language": "", "element": "subject", "qualifier": "oppiainekoodi", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.yso", "value": "matematiikka", "language": null, "element": "subject", "qualifier": "yso", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.yso", "value": "kompleksiluvut", "language": null, "element": "subject", "qualifier": "yso", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.yso", "value": "geometria", "language": null, "element": "subject", "qualifier": "yso", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.yso", "value": "ryhm\u00e4teoria", "language": null, "element": "subject", "qualifier": "yso", "schema": "dc"}, {"key": "dc.rights.url", "value": "https://rightsstatements.org/page/InC/1.0/", "language": null, "element": "rights", "qualifier": "url", "schema": "dc"}]
id jyx.123456789_96167
language fin
last_indexed 2025-02-18T10:54:45Z
main_date 2024-01-01T00:00:00Z
main_date_str 2024
online_boolean 1
online_urls_str_mv {"url":"https:\/\/jyx.jyu.fi\/bitstreams\/6622f942-98de-4287-83e3-430be3d752c1\/download","text":"URN:NBN:fi:jyu-202406265011.pdf","source":"jyx","mediaType":"application\/pdf"}
publishDate 2024
record_format qdc
source_str_mv jyx
spellingShingle Kannisto, Erika Kolmiulotteiset isometriat isometriat kiertoryhmä Matematiikan opettajankoulutus Teacher education programme in Mathematics 4041 matematiikka kompleksiluvut geometria ryhmäteoria
title Kolmiulotteiset isometriat
title_full Kolmiulotteiset isometriat
title_fullStr Kolmiulotteiset isometriat Kolmiulotteiset isometriat
title_full_unstemmed Kolmiulotteiset isometriat Kolmiulotteiset isometriat
title_short Kolmiulotteiset isometriat
title_sort kolmiulotteiset isometriat
title_txtP Kolmiulotteiset isometriat
topic isometriat kiertoryhmä Matematiikan opettajankoulutus Teacher education programme in Mathematics 4041 matematiikka kompleksiluvut geometria ryhmäteoria
topic_facet 4041 Matematiikan opettajankoulutus Teacher education programme in Mathematics geometria isometriat kiertoryhmä kompleksiluvut matematiikka ryhmäteoria
url https://jyx.jyu.fi/handle/123456789/96167 http://www.urn.fi/URN:NBN:fi:jyu-202406265011
work_keys_str_mv AT kannistoerika kolmiulotteisetisometriat