| fullrecord |
[{"key": "dc.contributor.advisor", "value": "Julin, Vesa", "language": "", "element": "contributor", "qualifier": "advisor", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.author", "value": "Kauppinen, Matti", "language": "", "element": "contributor", "qualifier": "author", "schema": "dc"}, {"key": "dc.date.accessioned", "value": "2022-11-10T06:50:22Z", "language": null, "element": "date", "qualifier": "accessioned", "schema": "dc"}, {"key": "dc.date.available", "value": "2022-11-10T06:50:22Z", "language": null, "element": "date", "qualifier": "available", "schema": "dc"}, {"key": "dc.date.issued", "value": "2022", "language": "", "element": "date", "qualifier": "issued", "schema": "dc"}, {"key": "dc.identifier.uri", "value": "https://jyx.jyu.fi/handle/123456789/83840", "language": null, "element": "identifier", "qualifier": "uri", "schema": "dc"}, {"key": "dc.description.abstract", "value": "T\u00e4ss\u00e4 ty\u00f6ss\u00e4 tutkitaan toisen asteen lineaarisia hyperbolisia osittaisdifferentiaaliyht\u00e4l\u00f6it\u00e4. Toisen asteen lineaariset hyperboliset osittaisdifferentiaaliyht\u00e4l\u00f6t ovat luonnollinen yleistys aaltoyht\u00e4l\u00f6lle $$u_{tt} + \\Delta u = f$$, jossa $\\Delta$ on Laplacen operaattori $\\Delta u = \\sum_{i=1}^n u_{x_i x_i}$. Aaltoyht\u00e4l\u00f6 kuvaa nimens\u00e4 mukaisesti aaltojen liikett\u00e4, ja siit\u00e4 voidaan johtaa aaltojen ominaisuuksia. Hyperboliset osittaisdifferentiaaliyht\u00e4l\u00f6t kuvaavat aaltojen liikett\u00e4 kun ne ovat mahdollisesti huokoisessa tai muuten ep\u00e4t\u00e4ydellisess\u00e4 v\u00e4litt\u00e4j\u00e4aineessa.\n\nTy\u00f6n p\u00e4\u00e4tulokset ovat, ett\u00e4 hyperbolisille yht\u00e4l\u00f6ille on olemassa heikko ratkaisu (Lause 4.3), ja ett\u00e4 heikko ratkaisu on yksik\u00e4sitteinen (Lause 4.4). Lis\u00e4ksi k\u00e4sitell\u00e4\u00e4n ratkaisuiden k\u00e4ytt\u00e4ytymist\u00e4, etenkin sit\u00e4 miten ongelman alkuarvot vaikuttavat ratkaisun arvoihin my\u00f6hemm\u00e4ll\u00e4 ajanhetkell\u00e4 $t_0$. N\u00e4hd\u00e4\u00e4n, ett\u00e4 yht\u00e4l\u00f6n ratkaisuiden alkudata etenee \u00e4\u00e4rellisell\u00e4 nopeudella, joka on hyvin erilainen k\u00e4yt\u00f6s verrattuna hyvin samantapaisiin parabolisiin osittaisdifferentiaaliyht\u00e4l\u00f6ihin. Esimerkki parabolisista osittaisdifferentiaaliyht\u00e4l\u00f6ist\u00e4 on l\u00e4mp\u00f6yht\u00e4l\u00f6. Parabolisten osittaisdifferentiaaliyht\u00e4l\u00f6iden alkudata vaikuttaa koko funktion m\u00e4\u00e4rittelyjoukkoon v\u00e4litt\u00f6m\u00e4sti.\nLauseen 4.3 todistuksessa k\u00e4ytet\u00e4\u00e4n niin sanottua Galerkinin menetelm\u00e4\u00e4. Lauseen 4.4 todistuksessa k\u00e4ytet\u00e4\u00e4n hyv\u00e4ksi tutkittavan yht\u00e4l\u00f6n lineaarisuutta. Yht\u00e4l\u00f6n lineaarisuuden nojalla riitt\u00e4\u00e4 osoittaa, ett\u00e4 jos alkudata on $0$, niin ainoa mahdollinen ratkaisu on identtisesti $0$.\n\nFunktion ratkaisuiden k\u00e4ytt\u00e4ytymisess\u00e4 pid\u00e4tt\u00e4ydyt\u00e4\u00e4n yksinkertaisessa esimerkkitapauksessa. Oletetaan, ett\u00e4 $u$ on sile\u00e4 ratkaisu kyseiseen ongelmaan, ja osoitetaan, ett\u00e4 jos $u$:n alkudata on identtisesti nollaa tietyss\u00e4 alueessa, niin $u$ on edelleen nollaa my\u00f6hemm\u00e4ll\u00e4 ajanhetkell\u00e4 $t_0$. T\u00e4m\u00e4 kertoo meille, ett\u00e4 kyseisen alueen ulkopuolella oleva alkudata ei vaikuta $u$:n arvoihin jollain my\u00f6hemm\u00e4ll\u00e4 ajanhetkell\u00e4 $t$, eli ongelman alkudata etenee \u00e4\u00e4rellisell\u00e4 nopeudella.\n\nHyperbolisten yht\u00e4l\u00f6iden tutkiminen on t\u00e4rke\u00e4\u00e4, koska ne esiintyv\u00e4t monissa matemaattisissa ja fysikaalisissa ongelmissa. Aaltoyht\u00e4l\u00f6ll\u00e4 voidaan mallintaa monenlaisia aaltoja, kuten s\u00e4hk\u00f6magneettisia aaltoja tai \u00e4\u00e4niaaltoja. Yleisemmill\u00e4 hyperbolisilla yht\u00e4l\u00f6ill\u00e4 voidaan tutkia aaltoja jotka kulkevat monimutkaisessa v\u00e4liaineessa, esimerkiksi veden eteneminen huokoisen kiven l\u00e4pi.\n\nHyperbolisten yht\u00e4l\u00f6iden tutkimuksella on pitk\u00e4 historia. Aaltoyht\u00e4l\u00f6n tutkimus alkoi Jean d'Alembertista joka johti yksiulotteisen aaltoyht\u00e4l\u00f6n ja ratkaisi sen vuonna 1752. T\u00e4st\u00e4 kaksi- ja kolmiulotteisten aaltoyht\u00e4l\u00f6iden tapauksissa jatkotutkimusta ja yleistyst\u00e4 tekiv\u00e4t Euler (1759) ja D. Bernoulli (1762). My\u00f6hemmin Riemann tutki hyperbolisia yht\u00e4l\u00f6it\u00e4 1850- ja 1860 luvuilla, ja h\u00e4nen j\u00e4lkens\u00e4 viimeisteliv\u00e4t Pierre Henri Hugoniot ja William Rankine heid\u00e4n shokkiaaltojen teoriallaan. Ennen 1920-lukua osittaisdifferentiaaliyht\u00e4l\u00f6iden ratkaisut olivat niin sanottuina klassisia ratkaisuja, eli astetta $n$ olevan yht\u00e4l\u00f6n ratkaisuiden haluttiin olevan ainakin $\\mathcal{C}^n$-funktioita. 1920-luvun puolella ja sen j\u00e4lkeen alettiin kehitt\u00e4\u00e4 heikkojen ratkaisuiden teoriaa. T\u00e4m\u00e4n lis\u00e4ksi 1930-luvulla kehiteltyjen Sobolev-avaruuksien ansiosta heikkojen ratkaisuiden teoria kasvoi ja kehittyi, ja on nykytutkimuksessa t\u00e4rkein osa-alue. Tarkempia historiakatsauksia hyperbolisiin ODYihin liittyen l\u00f6ytyy l\u00e4hteist\u00e4 [G\u00e598], [BB98]. Heikkojen ratkaisuiden teorian historiaa l\u00f6ytyy my\u00f6s viitteest\u00e4 [BB98].", "language": "fi", "element": "description", "qualifier": "abstract", "schema": "dc"}, {"key": "dc.description.provenance", "value": "Submitted by Paivi Vuorio (paelvuor@jyu.fi) on 2022-11-10T06:50:22Z\nNo. of bitstreams: 0", "language": "en", "element": "description", "qualifier": "provenance", "schema": "dc"}, {"key": "dc.description.provenance", "value": "Made available in DSpace on 2022-11-10T06:50:22Z (GMT). No. of bitstreams: 0\n Previous issue date: 2022", "language": "en", "element": "description", "qualifier": "provenance", "schema": "dc"}, {"key": "dc.format.extent", "value": "42", "language": "", "element": "format", "qualifier": "extent", "schema": "dc"}, {"key": "dc.format.mimetype", "value": "application/pdf", "language": null, "element": "format", "qualifier": "mimetype", "schema": "dc"}, {"key": "dc.language.iso", "value": "fin", "language": null, "element": "language", "qualifier": "iso", "schema": "dc"}, {"key": "dc.rights", "value": "In Copyright", "language": "en", "element": "rights", "qualifier": null, "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.other", "value": "Sobolev-avaruus", "language": "", "element": "subject", "qualifier": "other", "schema": "dc"}, {"key": "dc.title", "value": "Lineaariset toisen asteen hyperboliset osittaisdifferentiaaliyht\u00e4l\u00f6t", "language": "", "element": "title", "qualifier": null, "schema": "dc"}, {"key": "dc.type", "value": "master thesis", "language": null, "element": "type", "qualifier": null, "schema": "dc"}, {"key": "dc.identifier.urn", "value": "URN:NBN:fi:jyu-202211105141", "language": "", "element": "identifier", "qualifier": "urn", "schema": "dc"}, {"key": "dc.type.ontasot", "value": "Pro gradu -tutkielma", "language": "fi", "element": "type", "qualifier": "ontasot", "schema": "dc"}, {"key": "dc.type.ontasot", "value": "Master\u2019s thesis", "language": "en", "element": "type", "qualifier": "ontasot", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.faculty", "value": "Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta", "language": "fi", "element": "contributor", "qualifier": "faculty", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.faculty", "value": "Faculty of Sciences", "language": "en", "element": "contributor", "qualifier": "faculty", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.department", "value": "Matematiikan ja tilastotieteen laitos", "language": "fi", "element": "contributor", "qualifier": "department", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.department", "value": "Department of Mathematics and Statistics", "language": "en", "element": "contributor", "qualifier": "department", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.organization", "value": "Jyv\u00e4skyl\u00e4n yliopisto", "language": "fi", "element": "contributor", "qualifier": "organization", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.organization", "value": "University of Jyv\u00e4skyl\u00e4", "language": "en", "element": "contributor", "qualifier": "organization", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.discipline", "value": "Matematiikka", "language": "fi", "element": "subject", "qualifier": "discipline", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.discipline", "value": "Mathematics", "language": "en", "element": "subject", "qualifier": "discipline", "schema": "dc"}, {"key": "yvv.contractresearch.funding", "value": "0", "language": "", "element": "contractresearch", "qualifier": "funding", "schema": "yvv"}, {"key": "dc.type.coar", "value": "http://purl.org/coar/resource_type/c_bdcc", "language": null, "element": "type", "qualifier": "coar", "schema": "dc"}, {"key": "dc.rights.accesslevel", "value": "openAccess", "language": null, "element": "rights", "qualifier": "accesslevel", "schema": "dc"}, {"key": "dc.type.publication", "value": "masterThesis", "language": null, "element": "type", "qualifier": "publication", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.oppiainekoodi", "value": "4041", "language": "", "element": "subject", "qualifier": "oppiainekoodi", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.yso", "value": "hyperboliset funktiot", "language": null, "element": "subject", "qualifier": "yso", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.yso", "value": "matematiikka", "language": null, "element": "subject", "qualifier": "yso", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.yso", "value": "yht\u00e4l\u00f6t", "language": null, "element": "subject", "qualifier": "yso", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.yso", "value": "differentiaaliyht\u00e4l\u00f6t", "language": null, "element": "subject", "qualifier": "yso", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.yso", "value": "avaruus", "language": null, "element": "subject", "qualifier": "yso", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.yso", "value": "funktionaalianalyysi", "language": null, "element": "subject", "qualifier": "yso", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.yso", "value": "osittaisdifferentiaaliyht\u00e4l\u00f6t", "language": null, "element": "subject", "qualifier": "yso", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.yso", "value": "funktiot", "language": null, "element": "subject", "qualifier": "yso", "schema": "dc"}, {"key": "dc.format.content", "value": "fulltext", "language": null, "element": "format", "qualifier": "content", "schema": "dc"}, {"key": "dc.rights.url", "value": "https://rightsstatements.org/page/InC/1.0/", "language": null, "element": "rights", "qualifier": "url", "schema": "dc"}, {"key": "dc.type.okm", "value": "G2", "language": null, "element": "type", "qualifier": "okm", "schema": "dc"}]
|