Markov chain backward stochastic differential equations in modeling insurance policy - Hänninen, Henri (2022)
Tässä tutkielmassa tarkastelemme henkivakuutuksen varantoa. Mallinnamme henkivakuutusta Markovin prosessin avulla, ja varannon määrittelyyn ja mallintamiseen käytämme Markovin ketju BSDE:itä (Markovin ketju takaperoinen stokastinen differentiaaliyhtälö). Seuraamme ensisijaisena lähteenä Boualem Djehichen ja Björn Löfdahlin artikkelia Nonlinear reserving in life insurance: Aggregation and mean-field approximation. Muotoilemme ja todistamme ensimmäisten lukujen väitteet, osittain eri oletuksin. Markovin ketju BSDE:iden määrittelyä varten tarvitsemme sopivan yleistä stokastisen integroinnin ja Markovin prosessien teoriaa. Annamme tarvittavat esitiedot todennäköisyysteoriasta ja integroinnin teoriasta. Esittelemme martingaalien teoriaa, jotta voimme määritellä stokastisen integraalin semimartingaalien suhteen. Todistamme olemassaolon ja yksikäsitteisyyden Markovin ketju BSDE:iden ratkaisulle. Todistus mukailee vastaavaa Brownin liikkeen tapausta. Tutkimme myös erityistapausta, jossa Markovin ketju BSDE:iden ensimmäisen asteen termin kerroinfunktio on deterministinen Markovin ketjun ja varannon funktio. Osoitamme, että tällöin varanto on deterministinen Markovin ketjun funktio. Todistamme, että tässä tapauksessa varanto toteuttaa epälineaarisen Thielen yhtälön.