Existence of weak solutions of mean-field stochastic differential equations - Koivu, Jesse (2021)
Tässä tutkielmassa käsittelemme odotusarvokentällisiä stokastisia differentiaaliyhtälöitä, mitkä ovat yleistys klassisille stokastisille differentiaaliyhtälöille. Odotusarvokentällisen stokastisen differentiaaliyhtälön kerroinfunktiot saattavat riippua ylimääräisestä mittakomponentista ratkaisun jakauman muodossa. Käsittelemme heikkojen ratkaisujen olemassaoloa tällaisille yhtälöille olettaen, että kerroinfunktiot ovat rajoitettuja ja jatkuvia, missä jatkuvuus mittakomponentin suhteen ymmärretään jatkuvuutena 2-Wasserstein metriikan suhteen. Seuraamme artikkelia Li, J. ja Min, H. Weak solutions of mean-field stochastic differential equations (2017). Aloitamme palauttamalla mieliimme joitakin keskeisiä käsitteitä stokastisesta analyysistä. Tämän jälkeen esittelemme polkuavaruuden, klassisen lokaalin martingaaliongelman ja funktionaaliset stokastiset differentiaaliyhtälöt. Lisäksi esittelemme Wassersteinin mittojen avaruudet ja funktioiden differentioituvuuden mittakomponentin suhteen. Lopuksi osoitamme heikkojen ratkaisujen olemassaolon odotusarvokentällisille stokastisille differentiaaliyhtälöille olettaen, että kerroinfunktiot ovat rajoitettuja, mitallisia ja jatkuvia. Tämä tehdään näyttämällä, että vastaavalla lokaalilla martingaaliongelmalla on olemassa ratkaisu.