About mean-variance hedging with basis risk - Lähdemäki, Sami (2021)
Tässä tutkielmassa perehdytään odotusarvo-varianssi -suojausongelmaan (engl. mean-variance hedging problem) epätäydellisillä sijoitusmarkkinoilla. Päälähteenä seuraamme X. Xuen, J. Zhanging ja C. Wengin artikkelia Mean-variance Hedging with Basis risk. Oletamme aikavälin [0; T] jollekin T > 0, arbitraasivapaan sijoitusmarkkinan, yhden riskittömän sijoituskohteen ja (m+ 1) riskillistä sijoituskohdetta. Näiden kohteiden arvon oletetaan noudattavan stokastisia differentiaaliyhtälöitä, joissa kertoimet ovat deterministisiä ja Borel-mitallisia. Yksi näistä riskillisistä sijoituskohteista oletetaan liittyvän vaateeseen, jolle haluamme rakentaa suojaussalkun. Tätä kyseistä sijoituskohdetta ei voida käyttää suojaussalkun rakentamisessa, mikä aiheuttaa sijoitusmarkkinan epätäydellisyyden. Tämän vuoksi myös täydellisen suojaussalkun rakentaminen ei ole mahdollista. Määrittelemme voittoa/tappiota kuvaavan satunnaismuuttujan käyttämällä suojaussalkun arvon ja vaateen erotusta. Odotusarvo-varianssi -kriteeriä käytetään tähän satunnaismuuttujaan ja tämän johdosta ratkaisu on suojaussalkku, joka maksimoi erotuksen voittoa/tappiota kuvaavan satunnaismuuttujan odotusarvon ja varianssin välillä. Ratkaisun löytämiseksi aloitamme kertaamalla tärkeitä ja tarpeellisia tuloksia todennäköisyysteoriasta ja stokastisesta analyysistä. Tämän jälkeen esittelemme lyhyesti moninkertaiset stokastiset integraalit ja niiden ominaisuuksia sekä käytämme näitä Malliavin derivaatan määrittelyyn. Odotusarvo-varianssi -ongelman ratkaisun löytämiseksi käytämme "Linear-Quadratic" -teoriaa. Oletamme apuongelman ja osoitamme, että ratkaisemalla apuongelman on mahdollista ratkaista myös alkuperäinen ongelma. Käyttämämme "Linear-Quadratic" -teoria on yhteydessä takaperoisiin stokastisiin differentiaaliyhtälöihin ja tutkielmassa näemme näiden yhteyden Malliavin derivaattaan. Johdamme myös eksplisiittiset ratkaisut suoran sopimuksen ja Eurooppalaisen myynti- ja osto-option Malliavin derivaatalle. Tässä tutkielmassa vaateen oletetaan olevan Malliavin derivoituva ja tämä mahdollistaa eksplisiittisen ratkaisun löytämisen. Pääteoreemana muotoilemme eksplisiittisen suojaussalkun, joka ratkaisee odotusarvo-varianssi -ongelman tilanteessa, jossa sijoitusmarkkina on epätäydellinen.