| fullrecord |
[{"key": "dc.contributor.author", "value": "J\u00e4\u00e4skel\u00e4inen, Jenny", "language": "", "element": "contributor", "qualifier": "author", "schema": "dc"}, {"key": "dc.date.accessioned", "value": "2021-08-03T06:45:35Z", "language": null, "element": "date", "qualifier": "accessioned", "schema": "dc"}, {"key": "dc.date.available", "value": "2021-08-03T06:45:35Z", "language": null, "element": "date", "qualifier": "available", "schema": "dc"}, {"key": "dc.date.issued", "value": "2021", "language": "", "element": "date", "qualifier": "issued", "schema": "dc"}, {"key": "dc.identifier.uri", "value": "https://jyx.jyu.fi/handle/123456789/77261", "language": null, "element": "identifier", "qualifier": "uri", "schema": "dc"}, {"key": "dc.description.abstract", "value": "T\u00e4m\u00e4 Pro Gradu tutkielma k\u00e4sittelee M\u00f6bius-kuvauksia, hyperbolista geometriaa sek\u00e4 n\u00e4iden v\u00e4lisi\u00e4 yhteyksi\u00e4. Tutkielman alussa perehdyt\u00e4\u00e4n kompleksilukujen perusominaisuuksiin sek\u00e4 tarkastellaan laajennettua kompleksitasoa, joka sis\u00e4lt\u00e4\u00e4 normaalin kompleksitason lis\u00e4ksi \u00e4\u00e4rett\u00f6myyden. Lis\u00e4ksi tarkastellaan suoria ja ympyr\u00f6it\u00e4 laajennetussa kompleksitasossa stereografisen projektion avulla. T\u00e4m\u00e4n j\u00e4lkeen siirryt\u00e4\u00e4n tarkastelemaan M\u00f6bius-kuvauksia. M\u00f6bius-kuvaukset ovat kompleksitason kuvauksia, joita k\u00e4ytet\u00e4\u00e4n suorien ja ympyr\u00f6iden kuvaamisessa esimerkiksi peilaus- ja hyperbolisessa geometriassa. M\u00f6bius-kuvauksiin liittyvi\u00e4 ominaisuuksia ovat kiintopisteet, kaksoissuhde sek\u00e4 M\u00f6bius-kuvausten matriisiesitys. Matriisiesitys osoittautuu hy\u00f6dylliseksi ty\u00f6kaluksi M\u00f6bius-kuvausten k\u00e4\u00e4nteiskuvausten sek\u00e4 yhdistettyjen M\u00f6bius-kuvausten etsinn\u00e4ss\u00e4. M\u00f6bius-kuvauksen muita t\u00e4rkeit\u00e4 ominaisuuksia geometrian kannalta ovat, ett\u00e4 M\u00f6bius-kuvaus kuvaa yleistetyt ympyr\u00e4t yleistetyiksi ympyr\u00f6iksi sek\u00e4 M\u00f6bius-kuvaukset s\u00e4ilytt\u00e4v\u00e4t suorien tai k\u00e4yrien v\u00e4liset kulmien suuruudet. \nT\u00e4m\u00e4n j\u00e4lkeen siirryt\u00e4\u00e4n tarkastelemaan lyhyesti peilausgeometriaa. Alkuun m\u00e4\u00e4ritell\u00e4\u00e4n peilausgeometrian ominaisuuksia, kuten peilaus ympyr\u00e4n suhteen. Peilauksia k\u00e4sitell\u00e4\u00e4n sek\u00e4 yksikk\u00f6ympyr\u00e4n, ett\u00e4 mink\u00e4 tahansa ympyr\u00e4n C suhteen. Peilaus ympyr\u00e4n suhteen eroaa euklidisesta peilauksesta, sill\u00e4 se ei aina kuvaa suoria suoriksi. Peilauskuvauksen m\u00e4\u00e4ritelm\u00e4n j\u00e4lkeen toteamme, ett\u00e4 peilauskuvaus toimii \u00e4\u00e4rett\u00f6myyspistett\u00e4 lukuunottamatta samoin kuin Euklidinen peilaus suoran suhteen. Tutkielmassa tarkastellaan lis\u00e4ksi M\u00f6bius-kuvausten ja peilausgeometrian v\u00e4list\u00e4 yhteytt\u00e4. Tutkielmassa osoitetaan, ett\u00e4 M\u00f6bius-kuvaus on peilausten algebrallinen esitystapa ja jokainen M\u00f6bius-kuvaus voidaan esitt\u00e4\u00e4 peilauskuvauksena ja jokainen peilaus voidaan esitt\u00e4\u00e4 M\u00f6bius-kuvauksen ja kompleksikonjugaatin avulla.\nLuvussa 5 siirryt\u00e4\u00e4n tarkastelemaan Hyperbolista geometriaa. Hyperbolinen geometria eroaa Euklidisesta geometriasta paralleeliaksiooman, eli yhdensuuntaisuuden suhteen. Tutkielmassa tarkastellaan hyperbolista geometriaa Henri Poincar\u00e9n luoman Poincar\u00e9n kiekkomallin mukaan. Kiekkomallissa tarkasteltava avaruus rajoittuu yksikk\u00f6kiekon sis\u00e4ll\u00e4 oleviin pisteisiin, suoriin ja ympyr\u00f6ihin niin, miten ne yksikk\u00f6kiekossa esiintyv\u00e4t. Hyperbolisen geometrian luvussa m\u00e4\u00e4ritell\u00e4\u00e4n hyperbolisen suoran k\u00e4site, hyperbolisten suorien yhdensuuntaisuus sek\u00e4 aikaisemmin esitettyjen peilausten ominaisuuksia kiekkomallissa. M\u00e4\u00e4rittelemme hyperbolisen kuvauksen ja tarkastelemme miten hyperbolinen kuvaus kuvaa hyperbolisia suoria, pisteit\u00e4 ja kulmia.\nViimeisess\u00e4 luvussa yhdistet\u00e4\u00e4n tutkielmassa esiteltyj\u00e4 tietoja ja tarkastellaan M\u00f6bius-kuvausten ja hyperbolisen geometrian v\u00e4list\u00e4 yhteytt\u00e4. Viimeisen luvun p\u00e4\u00e4tulos on, ett\u00e4 hyperbolinen kuvaus voidaan esitt\u00e4\u00e4 M\u00f6bius-kuvauksen ja kompleksijonkugaatin yhdisteen\u00e4, jolloin M\u00f6bius-kuvausten ominaisuudet ovat voimassa hyperbolisessa geometriassa.", "language": "fi", "element": "description", "qualifier": "abstract", "schema": "dc"}, {"key": "dc.description.provenance", "value": "Submitted by Paivi Vuorio (paelvuor@jyu.fi) on 2021-08-03T06:45:35Z\nNo. of bitstreams: 0", "language": "en", "element": "description", "qualifier": "provenance", "schema": "dc"}, {"key": "dc.description.provenance", "value": "Made available in DSpace on 2021-08-03T06:45:35Z (GMT). No. of bitstreams: 0\n Previous issue date: 2021", "language": "en", "element": "description", "qualifier": "provenance", "schema": "dc"}, {"key": "dc.format.extent", "value": "53", "language": "", "element": "format", "qualifier": "extent", "schema": "dc"}, {"key": "dc.format.mimetype", "value": "application/pdf", "language": null, "element": "format", "qualifier": "mimetype", "schema": "dc"}, {"key": "dc.language.iso", "value": "fin", "language": null, "element": "language", "qualifier": "iso", "schema": "dc"}, {"key": "dc.rights", "value": "In Copyright", "language": "en", "element": "rights", "qualifier": null, "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.other", "value": "M\u00f6bius-kuvaus", "language": "", "element": "subject", "qualifier": "other", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.other", "value": "hyperbolinen geometria", "language": "", "element": "subject", "qualifier": "other", "schema": "dc"}, {"key": "dc.title", "value": "M\u00f6bius-kuvaukset ja hyperbolinen geometria", "language": "", "element": "title", "qualifier": null, "schema": "dc"}, {"key": "dc.type", "value": "master thesis", "language": null, "element": "type", "qualifier": null, "schema": "dc"}, {"key": "dc.identifier.urn", "value": "URN:NBN:fi:jyu-202108034429", "language": "", "element": "identifier", "qualifier": "urn", "schema": "dc"}, {"key": "dc.type.ontasot", "value": "Pro gradu -tutkielma", "language": "fi", "element": "type", "qualifier": "ontasot", "schema": "dc"}, {"key": "dc.type.ontasot", "value": "Master\u2019s thesis", "language": "en", "element": "type", "qualifier": "ontasot", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.faculty", "value": "Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta", "language": "fi", "element": "contributor", "qualifier": "faculty", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.faculty", "value": "Faculty of Sciences", "language": "en", "element": "contributor", "qualifier": "faculty", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.department", "value": "Matematiikan ja tilastotieteen laitos", "language": "fi", "element": "contributor", "qualifier": "department", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.department", "value": "Department of Mathematics and Statistics", "language": "en", "element": "contributor", "qualifier": "department", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.organization", "value": "Jyv\u00e4skyl\u00e4n yliopisto", "language": "fi", "element": "contributor", "qualifier": "organization", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.organization", "value": "University of Jyv\u00e4skyl\u00e4", "language": "en", "element": "contributor", "qualifier": "organization", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.discipline", "value": "Matematiikan opettajankoulutus", "language": "fi", "element": "subject", "qualifier": "discipline", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.discipline", "value": "Teacher education programme in Mathematics", "language": "en", "element": "subject", "qualifier": "discipline", "schema": "dc"}, {"key": "yvv.contractresearch.funding", "value": "0", "language": "", "element": "contractresearch", "qualifier": "funding", "schema": "yvv"}, {"key": "dc.type.coar", "value": "http://purl.org/coar/resource_type/c_bdcc", "language": null, "element": "type", "qualifier": "coar", "schema": "dc"}, {"key": "dc.rights.accesslevel", "value": "openAccess", "language": null, "element": "rights", "qualifier": "accesslevel", "schema": "dc"}, {"key": "dc.type.publication", "value": "masterThesis", "language": null, "element": "type", "qualifier": "publication", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.oppiainekoodi", "value": "4041", "language": "", "element": "subject", "qualifier": "oppiainekoodi", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.yso", "value": "geometria", "language": null, "element": "subject", "qualifier": "yso", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.yso", "value": "matematiikka", "language": null, "element": "subject", "qualifier": "yso", "schema": "dc"}, {"key": "dc.format.content", "value": "fulltext", "language": null, "element": "format", "qualifier": "content", "schema": "dc"}, {"key": "dc.rights.url", "value": "https://rightsstatements.org/page/InC/1.0/", "language": null, "element": "rights", "qualifier": "url", "schema": "dc"}, {"key": "dc.type.okm", "value": "G2", "language": null, "element": "type", "qualifier": "okm", "schema": "dc"}]
|