Pääideaalialueen moduulien päälause

Tämän tutkielman tarkoituksena on rakentaa moduulien teoria ryhmä- ja rengasteorian alkeista lähtien, sekä osoittaa pääideaalialueiden moduulien päälause. Moduuli on joukko G varustettuna yhteenlaskutoimituksella, joka tekee siitä abelin ryhmän, sekä toiminnaksi kutsutulla kuvauksella joka liittää j...

Full description

Bibliographic Details
Main Author: Lehtikangas, Vilppu
Other Authors: Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta, Faculty of Sciences, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Department of Mathematics and Statistics, Jyväskylän yliopisto, University of Jyväskylä
Format: Master's thesis
Language:fin
Published: 2021
Subjects:
Online Access: https://jyx.jyu.fi/handle/123456789/74515
_version_ 1826225701990170624
author Lehtikangas, Vilppu
author2 Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Faculty of Sciences Matematiikan ja tilastotieteen laitos Department of Mathematics and Statistics Jyväskylän yliopisto University of Jyväskylä
author_facet Lehtikangas, Vilppu Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Faculty of Sciences Matematiikan ja tilastotieteen laitos Department of Mathematics and Statistics Jyväskylän yliopisto University of Jyväskylä Lehtikangas, Vilppu Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Faculty of Sciences Matematiikan ja tilastotieteen laitos Department of Mathematics and Statistics Jyväskylän yliopisto University of Jyväskylä
author_sort Lehtikangas, Vilppu
datasource_str_mv jyx
description Tämän tutkielman tarkoituksena on rakentaa moduulien teoria ryhmä- ja rengasteorian alkeista lähtien, sekä osoittaa pääideaalialueiden moduulien päälause. Moduuli on joukko G varustettuna yhteenlaskutoimituksella, joka tekee siitä abelin ryhmän, sekä toiminnaksi kutsutulla kuvauksella joka liittää jokaiseen G:n kertoimien renkaan alkioon ja G:n alkioon jonkin G:n alkion. Toiminnan määritellään myös toteuttavan vektoriavaruuksien tunnetut distributiivisuusominaisuudet, jolloin se yleistää vektoriavaruuden skalaaritulon käsitteen yleiselle renkaalle. Näin ollen vektoriavaruuden yleisen määritelmän nojalla vektoriavaruudet ovat täsmälleen kuntakertoimisia moduuleja. Osoittautuu, että myös abelin ryhmät ja renkaat ovat moduuleja, joiden kerroinrenkaina ovat vastaavasti kokonaislukujen rengas, sekä rengas itse. Tulemme huomaamaan, että monet ryhmä- ja rengasteorian tuloksista yleistyvät myös moduuleille. Tutkimme, kuinka moduulin kerroinrenkaan rakenne vaikuttaa itse moduulin ominaisuuksiin. Tulemme osoittamaan, että pääideaalialueitten tapauksessa jokainen pääideaalialueen moduuli voidaan esittää yksikäsitteisesti suorana summana vapaasta moduulista, eli moduulista jolla on vektoriavaruuden tavoin kanta, sekä äärellisen monesta syklisestä tekijämoduulista. Tarkastelemme lopuksi lyhyesti joitain tämän pääideaalimoduulien päälauseeksi kutsutun tuloksen sovelluksia, kuten äärellisesti viritettyjen abelin ryhmien päälausetta, sekä neliömatriisin Jordanin kanonista muotoa.
first_indexed 2021-03-08T21:02:02Z
format Pro gradu
free_online_boolean 1
fullrecord [{"key": "dc.contributor.advisor", "value": "V\u00e4h\u00e4kangas, Antti", "language": "", "element": "contributor", "qualifier": "advisor", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.author", "value": "Lehtikangas, Vilppu", "language": "", "element": "contributor", "qualifier": "author", "schema": "dc"}, {"key": "dc.date.accessioned", "value": "2021-03-08T08:32:18Z", "language": null, "element": "date", "qualifier": "accessioned", "schema": "dc"}, {"key": "dc.date.available", "value": "2021-03-08T08:32:18Z", "language": null, "element": "date", "qualifier": "available", "schema": "dc"}, {"key": "dc.date.issued", "value": "2021", "language": "", "element": "date", "qualifier": "issued", "schema": "dc"}, {"key": "dc.identifier.uri", "value": "https://jyx.jyu.fi/handle/123456789/74515", "language": null, "element": "identifier", "qualifier": "uri", "schema": "dc"}, {"key": "dc.description.abstract", "value": "T\u00e4m\u00e4n tutkielman tarkoituksena on rakentaa moduulien teoria ryhm\u00e4- ja rengasteorian alkeista l\u00e4htien, sek\u00e4 osoittaa p\u00e4\u00e4ideaalialueiden moduulien p\u00e4\u00e4lause.\nModuuli on joukko G varustettuna yhteenlaskutoimituksella, joka tekee siit\u00e4 abelin ryhm\u00e4n, sek\u00e4 toiminnaksi kutsutulla kuvauksella joka liitt\u00e4\u00e4 jokaiseen G:n kertoimien renkaan alkioon ja G:n alkioon jonkin G:n alkion. Toiminnan m\u00e4\u00e4ritell\u00e4\u00e4n my\u00f6s toteuttavan vektoriavaruuksien tunnetut distributiivisuusominaisuudet, jolloin se yleist\u00e4\u00e4 vektoriavaruuden skalaaritulon k\u00e4sitteen yleiselle renkaalle. N\u00e4in ollen vektoriavaruuden yleisen m\u00e4\u00e4ritelm\u00e4n nojalla vektoriavaruudet ovat t\u00e4sm\u00e4lleen kuntakertoimisia moduuleja. Osoittautuu, ett\u00e4 my\u00f6s abelin ryhm\u00e4t ja renkaat ovat moduuleja, joiden kerroinrenkaina ovat vastaavasti kokonaislukujen rengas, sek\u00e4 rengas itse. Tulemme huomaamaan, ett\u00e4 monet ryhm\u00e4- ja rengasteorian tuloksista yleistyv\u00e4t my\u00f6s moduuleille.\nTutkimme, kuinka moduulin kerroinrenkaan rakenne vaikuttaa itse moduulin ominaisuuksiin. Tulemme osoittamaan, ett\u00e4 p\u00e4\u00e4ideaalialueitten tapauksessa jokainen p\u00e4\u00e4ideaalialueen moduuli voidaan esitt\u00e4\u00e4 yksik\u00e4sitteisesti suorana summana vapaasta moduulista, eli moduulista jolla on vektoriavaruuden tavoin kanta, sek\u00e4 \u00e4\u00e4rellisen monesta syklisest\u00e4 tekij\u00e4moduulista. Tarkastelemme lopuksi lyhyesti joitain t\u00e4m\u00e4n p\u00e4\u00e4ideaalimoduulien p\u00e4\u00e4lauseeksi kutsutun tuloksen sovelluksia, kuten \u00e4\u00e4rellisesti viritettyjen abelin ryhmien p\u00e4\u00e4lausetta, sek\u00e4 neli\u00f6matriisin Jordanin kanonista muotoa.", "language": "fi", "element": "description", "qualifier": "abstract", "schema": "dc"}, {"key": "dc.description.provenance", "value": "Submitted by Paivi Vuorio (paelvuor@jyu.fi) on 2021-03-08T08:32:18Z\nNo. of bitstreams: 0", "language": "en", "element": "description", "qualifier": "provenance", "schema": "dc"}, {"key": "dc.description.provenance", "value": "Made available in DSpace on 2021-03-08T08:32:18Z (GMT). No. of bitstreams: 0\n Previous issue date: 2021", "language": "en", "element": "description", "qualifier": "provenance", "schema": "dc"}, {"key": "dc.format.extent", "value": "75", "language": "", "element": "format", "qualifier": "extent", "schema": "dc"}, {"key": "dc.format.mimetype", "value": "application/pdf", "language": null, "element": "format", "qualifier": "mimetype", "schema": "dc"}, {"key": "dc.language.iso", "value": "fin", "language": null, "element": "language", "qualifier": "iso", "schema": "dc"}, {"key": "dc.rights", "value": "In Copyright", "language": "en", "element": "rights", "qualifier": null, "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.other", "value": "moduuli", "language": "", "element": "subject", "qualifier": "other", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.other", "value": "ryhm\u00e4", "language": "", "element": "subject", "qualifier": "other", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.other", "value": "rengas", "language": "", "element": "subject", "qualifier": "other", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.other", "value": "ideaali", "language": "", "element": "subject", "qualifier": "other", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.other", "value": "p\u00e4\u00e4ideaalialue", "language": "", "element": "subject", "qualifier": "other", "schema": "dc"}, {"key": "dc.title", "value": "P\u00e4\u00e4ideaalialueen moduulien p\u00e4\u00e4lause", "language": "", "element": "title", "qualifier": null, "schema": "dc"}, {"key": "dc.type", "value": "master thesis", "language": null, "element": "type", "qualifier": null, "schema": "dc"}, {"key": "dc.identifier.urn", "value": "URN:NBN:fi:jyu-202103081872", "language": "", "element": "identifier", "qualifier": "urn", "schema": "dc"}, {"key": "dc.type.ontasot", "value": "Pro gradu -tutkielma", "language": "fi", "element": "type", "qualifier": "ontasot", "schema": "dc"}, {"key": "dc.type.ontasot", "value": "Master\u2019s thesis", "language": "en", "element": "type", "qualifier": "ontasot", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.faculty", "value": "Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta", "language": "fi", "element": "contributor", "qualifier": "faculty", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.faculty", "value": "Faculty of Sciences", "language": "en", "element": "contributor", "qualifier": "faculty", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.department", "value": "Matematiikan ja tilastotieteen laitos", "language": "fi", "element": "contributor", "qualifier": "department", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.department", "value": "Department of Mathematics and Statistics", "language": "en", "element": "contributor", "qualifier": "department", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.organization", "value": "Jyv\u00e4skyl\u00e4n yliopisto", "language": "fi", "element": "contributor", "qualifier": "organization", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.organization", "value": "University of Jyv\u00e4skyl\u00e4", "language": "en", "element": "contributor", "qualifier": "organization", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.discipline", "value": "Matematiikka", "language": "fi", "element": "subject", "qualifier": "discipline", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.discipline", "value": "Mathematics", "language": "en", "element": "subject", "qualifier": "discipline", "schema": "dc"}, {"key": "yvv.contractresearch.funding", "value": "0", "language": "", "element": "contractresearch", "qualifier": "funding", "schema": "yvv"}, {"key": "dc.type.coar", "value": "http://purl.org/coar/resource_type/c_bdcc", "language": null, "element": "type", "qualifier": "coar", "schema": "dc"}, {"key": "dc.rights.accesslevel", "value": "openAccess", "language": null, "element": "rights", "qualifier": "accesslevel", "schema": "dc"}, {"key": "dc.type.publication", "value": "masterThesis", "language": null, "element": "type", "qualifier": "publication", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.oppiainekoodi", "value": "4041", "language": "", "element": "subject", "qualifier": "oppiainekoodi", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.yso", "value": "abstrakti algebra", "language": null, "element": "subject", "qualifier": "yso", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.yso", "value": "algebra", "language": null, "element": "subject", "qualifier": "yso", "schema": "dc"}, {"key": "dc.format.content", "value": "fulltext", "language": null, "element": "format", "qualifier": "content", "schema": "dc"}, {"key": "dc.rights.url", "value": "https://rightsstatements.org/page/InC/1.0/", "language": null, "element": "rights", "qualifier": "url", "schema": "dc"}, {"key": "dc.type.okm", "value": "G2", "language": null, "element": "type", "qualifier": "okm", "schema": "dc"}]
id jyx.123456789_74515
language fin
last_indexed 2025-02-18T10:54:30Z
main_date 2021-01-01T00:00:00Z
main_date_str 2021
online_boolean 1
online_urls_str_mv {"url":"https:\/\/jyx.jyu.fi\/bitstreams\/dac79b0a-b28b-4920-82be-9ae210e70b84\/download","text":"URN:NBN:fi:jyu-202103081872.pdf","source":"jyx","mediaType":"application\/pdf"}
publishDate 2021
record_format qdc
source_str_mv jyx
spellingShingle Lehtikangas, Vilppu Pääideaalialueen moduulien päälause moduuli ryhmä rengas ideaali pääideaalialue Matematiikka Mathematics 4041 abstrakti algebra algebra
title Pääideaalialueen moduulien päälause
title_full Pääideaalialueen moduulien päälause
title_fullStr Pääideaalialueen moduulien päälause Pääideaalialueen moduulien päälause
title_full_unstemmed Pääideaalialueen moduulien päälause Pääideaalialueen moduulien päälause
title_short Pääideaalialueen moduulien päälause
title_sort pääideaalialueen moduulien päälause
title_txtP Pääideaalialueen moduulien päälause
topic moduuli ryhmä rengas ideaali pääideaalialue Matematiikka Mathematics 4041 abstrakti algebra algebra
topic_facet 4041 Matematiikka Mathematics abstrakti algebra algebra ideaali moduuli pääideaalialue rengas ryhmä
url https://jyx.jyu.fi/handle/123456789/74515 http://www.urn.fi/URN:NBN:fi:jyu-202103081872
work_keys_str_mv AT lehtikangasvilppu pääideaalialueenmoduulienpäälause