Sähköisen impedanssitomografian inversio-ongelma

Tässä tutkielmassa esitellään sähköisen impedanssitomografian matemaattista mallia sekä johtavuusyhtälöön liittyvää inversio-ongelmaa. Tutkielman päätuloksena osoitetaan, että kappaleen reunalla tehtävien mittauksien avulla voidaan määrittää kappaleen sisällä oleva johtavuus. Sähköinen impedanssitom...

Full description

Bibliographic Details
Main Author: Nurminen, Janne
Other Authors: Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta, Faculty of Sciences, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Department of Mathematics and Statistics, Jyväskylän yliopisto, University of Jyväskylä
Format: Master's thesis
Language:fin
Published: 2020
Subjects:
Online Access: https://jyx.jyu.fi/handle/123456789/68306
_version_ 1826225715496878080
author Nurminen, Janne
author2 Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Faculty of Sciences Matematiikan ja tilastotieteen laitos Department of Mathematics and Statistics Jyväskylän yliopisto University of Jyväskylä
author_facet Nurminen, Janne Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Faculty of Sciences Matematiikan ja tilastotieteen laitos Department of Mathematics and Statistics Jyväskylän yliopisto University of Jyväskylä Nurminen, Janne Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Faculty of Sciences Matematiikan ja tilastotieteen laitos Department of Mathematics and Statistics Jyväskylän yliopisto University of Jyväskylä
author_sort Nurminen, Janne
datasource_str_mv jyx
description Tässä tutkielmassa esitellään sähköisen impedanssitomografian matemaattista mallia sekä johtavuusyhtälöön liittyvää inversio-ongelmaa. Tutkielman päätuloksena osoitetaan, että kappaleen reunalla tehtävien mittauksien avulla voidaan määrittää kappaleen sisällä oleva johtavuus. Sähköinen impedanssitomografia on siis kuvantamismenetelmä, jonka avulla jonkin kappaleen pinnalla tehtävistä sähköisistä mittauksista pyritään selvittämään kappaleen sisäistä rakennetta. Kyseisen inversio-ongelman muotoilemiseen tarvitaan esitiedoiksi teoriaa Sobolev-avaruuksista sekä osittaisdifferentiaaliyhtälöiden heikoista ratkaisuista. Heikkojen ratkaisujen teoria pohjautuu nimenomaan Sobolev-avaruuksien teoriaan. Osittaisdifferentiaaliyhtälöiden heikkojen ratkaisujen teorian avulla voidaan antaa määritelmä niin sanotulle Dirichlet-to-Neumann -kuvaukselle, jonka voidaan ajatella sisältävän tiedot kappaleen reunalla tehtävistä mittauksista. Kun tiedetään, mitä Dirichlet-to-Neumann -kuvaukset ovat, voidaan muotoilla sähköiseen kuvantamismenetelmään liittyvä inversio-ongelma johtavuusyhtälön tapauksessa: Olkoon \gamma positiivinen oleellisesti rajoitettu funktio avaruuden \R^n avoimessa ja rajoitetussa joukossa. Määritä Dirichlet-to-Neumann -kuvauksesta johtavuus kyseisessä joukossa. Tutkielman päätulos liittyy tähän inversio-ongelmaan, jossa osoitetaan, että reunalla tehtävät sähköiset mittaukset, eli Dirichlet-to-Neumann -kuvaus, määräävät tuntemattoman johtavuuden arvon reunalla. Tämän lisäksi tutkielmassa esitellään hieman Schrödingerin yhtälöä. Schrödingerin yhtälölle muotoillaan siihen liittyvä inversio-ongelma ja vastaava Dirichlet-to-Neumann -kuvaus. Lisäksi todistetaan samankaltainen tulos kuin johtavuusyhtälölle, eli reunalla tehtävät mittaukset määräävät tuntemattoman potentiaalin arvon reunalla.
first_indexed 2020-03-25T21:02:52Z
format Pro gradu
free_online_boolean 1
fullrecord [{"key": "dc.contributor.advisor", "value": "Salo, Mikko", "language": "", "element": "contributor", "qualifier": "advisor", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.author", "value": "Nurminen, Janne", "language": "", "element": "contributor", "qualifier": "author", "schema": "dc"}, {"key": "dc.date.accessioned", "value": "2020-03-25T05:19:18Z", "language": null, "element": "date", "qualifier": "accessioned", "schema": "dc"}, {"key": "dc.date.available", "value": "2020-03-25T05:19:18Z", "language": null, "element": "date", "qualifier": "available", "schema": "dc"}, {"key": "dc.date.issued", "value": "2020", "language": "", "element": "date", "qualifier": "issued", "schema": "dc"}, {"key": "dc.identifier.uri", "value": "https://jyx.jyu.fi/handle/123456789/68306", "language": null, "element": "identifier", "qualifier": "uri", "schema": "dc"}, {"key": "dc.description.abstract", "value": "T\u00e4ss\u00e4 tutkielmassa esitell\u00e4\u00e4n s\u00e4hk\u00f6isen impedanssitomografian matemaattista mallia sek\u00e4 johtavuusyht\u00e4l\u00f6\u00f6n liittyv\u00e4\u00e4 inversio-ongelmaa. Tutkielman p\u00e4\u00e4tuloksena osoitetaan, ett\u00e4 kappaleen reunalla teht\u00e4vien mittauksien avulla voidaan m\u00e4\u00e4ritt\u00e4\u00e4 kappaleen sis\u00e4ll\u00e4 oleva johtavuus. S\u00e4hk\u00f6inen impedanssitomografia on siis kuvantamismenetelm\u00e4, jonka avulla jonkin kappaleen pinnalla teht\u00e4vist\u00e4 s\u00e4hk\u00f6isist\u00e4 mittauksista pyrit\u00e4\u00e4n selvitt\u00e4m\u00e4\u00e4n kappaleen sis\u00e4ist\u00e4 rakennetta.\n\nKyseisen inversio-ongelman muotoilemiseen tarvitaan esitiedoiksi teoriaa Sobolev-avaruuksista sek\u00e4 osittaisdifferentiaaliyht\u00e4l\u00f6iden heikoista ratkaisuista. Heikkojen ratkaisujen teoria pohjautuu nimenomaan Sobolev-avaruuksien teoriaan. Osittaisdifferentiaaliyht\u00e4l\u00f6iden heikkojen ratkaisujen teorian avulla voidaan antaa m\u00e4\u00e4ritelm\u00e4 niin sanotulle Dirichlet-to-Neumann -kuvaukselle, jonka voidaan ajatella sis\u00e4lt\u00e4v\u00e4n tiedot kappaleen reunalla teht\u00e4vist\u00e4 mittauksista.\n\nKun tiedet\u00e4\u00e4n, mit\u00e4 Dirichlet-to-Neumann -kuvaukset ovat, voidaan muotoilla s\u00e4hk\u00f6iseen kuvantamismenetelm\u00e4\u00e4n liittyv\u00e4 inversio-ongelma johtavuusyht\u00e4l\u00f6n tapauksessa: Olkoon \\gamma positiivinen oleellisesti rajoitettu funktio avaruuden \\R^n avoimessa ja rajoitetussa joukossa. M\u00e4\u00e4rit\u00e4 Dirichlet-to-Neumann -kuvauksesta johtavuus kyseisess\u00e4 joukossa.\nTutkielman p\u00e4\u00e4tulos liittyy t\u00e4h\u00e4n inversio-ongelmaan, jossa osoitetaan, ett\u00e4 reunalla teht\u00e4v\u00e4t s\u00e4hk\u00f6iset mittaukset, eli Dirichlet-to-Neumann -kuvaus, m\u00e4\u00e4r\u00e4\u00e4v\u00e4t tuntemattoman johtavuuden arvon reunalla. \n\nT\u00e4m\u00e4n lis\u00e4ksi tutkielmassa esitell\u00e4\u00e4n hieman Schr\u00f6dingerin yht\u00e4l\u00f6\u00e4. Schr\u00f6dingerin yht\u00e4l\u00f6lle muotoillaan siihen liittyv\u00e4 inversio-ongelma ja vastaava Dirichlet-to-Neumann -kuvaus. Lis\u00e4ksi todistetaan samankaltainen tulos kuin johtavuusyht\u00e4l\u00f6lle, eli reunalla teht\u00e4v\u00e4t mittaukset m\u00e4\u00e4r\u00e4\u00e4v\u00e4t tuntemattoman potentiaalin arvon reunalla.", "language": "fi", "element": "description", "qualifier": "abstract", "schema": "dc"}, {"key": "dc.description.provenance", "value": "Submitted by Miia Hakanen (mihakane@jyu.fi) on 2020-03-25T05:19:18Z\nNo. of bitstreams: 0", "language": "en", "element": "description", "qualifier": "provenance", "schema": "dc"}, {"key": "dc.description.provenance", "value": "Made available in DSpace on 2020-03-25T05:19:18Z (GMT). No. of bitstreams: 0\n Previous issue date: 2020", "language": "en", "element": "description", "qualifier": "provenance", "schema": "dc"}, {"key": "dc.format.extent", "value": "60", "language": "", "element": "format", "qualifier": "extent", "schema": "dc"}, {"key": "dc.format.mimetype", "value": "application/pdf", "language": null, "element": "format", "qualifier": "mimetype", "schema": "dc"}, {"key": "dc.language.iso", "value": "fin", "language": null, "element": "language", "qualifier": "iso", "schema": "dc"}, {"key": "dc.rights", "value": "In Copyright", "language": "en", "element": "rights", "qualifier": null, "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.other", "value": "inversio-ongelmat", "language": "", "element": "subject", "qualifier": "other", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.other", "value": "Calder\u00f3n ongelma", "language": "", "element": "subject", "qualifier": "other", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.other", "value": "osittaisdifferentiaaliyht\u00e4l\u00f6t", "language": "", "element": "subject", "qualifier": "other", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.other", "value": "s\u00e4hk\u00f6inen impedanssitomografia", "language": "", "element": "subject", "qualifier": "other", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.other", "value": "johtavuusyht\u00e4l\u00f6", "language": "", "element": "subject", "qualifier": "other", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.other", "value": "Schr\u00f6dingerin yht\u00e4l\u00f6", "language": "", "element": "subject", "qualifier": "other", "schema": "dc"}, {"key": "dc.title", "value": "S\u00e4hk\u00f6isen impedanssitomografian inversio-ongelma", "language": "", "element": "title", "qualifier": null, "schema": "dc"}, {"key": "dc.type", "value": "master thesis", "language": null, "element": "type", "qualifier": null, "schema": "dc"}, {"key": "dc.identifier.urn", "value": "URN:NBN:fi:jyu-202003252523", "language": "", "element": "identifier", "qualifier": "urn", "schema": "dc"}, {"key": "dc.type.ontasot", "value": "Pro gradu -tutkielma", "language": "fi", "element": "type", "qualifier": "ontasot", "schema": "dc"}, {"key": "dc.type.ontasot", "value": "Master\u2019s thesis", "language": "en", "element": "type", "qualifier": "ontasot", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.faculty", "value": "Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta", "language": "fi", "element": "contributor", "qualifier": "faculty", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.faculty", "value": "Faculty of Sciences", "language": "en", "element": "contributor", "qualifier": "faculty", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.department", "value": "Matematiikan ja tilastotieteen laitos", "language": "fi", "element": "contributor", "qualifier": "department", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.department", "value": "Department of Mathematics and Statistics", "language": "en", "element": "contributor", "qualifier": "department", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.organization", "value": "Jyv\u00e4skyl\u00e4n yliopisto", "language": "fi", "element": "contributor", "qualifier": "organization", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.organization", "value": "University of Jyv\u00e4skyl\u00e4", "language": "en", "element": "contributor", "qualifier": "organization", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.discipline", "value": "Matematiikka", "language": "fi", "element": "subject", "qualifier": "discipline", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.discipline", "value": "Mathematics", "language": "en", "element": "subject", "qualifier": "discipline", "schema": "dc"}, {"key": "yvv.contractresearch.funding", "value": "0", "language": "", "element": "contractresearch", "qualifier": "funding", "schema": "yvv"}, {"key": "dc.type.coar", "value": "http://purl.org/coar/resource_type/c_bdcc", "language": null, "element": "type", "qualifier": "coar", "schema": "dc"}, {"key": "dc.rights.accesslevel", "value": "openAccess", "language": null, "element": "rights", "qualifier": "accesslevel", "schema": "dc"}, {"key": "dc.type.publication", "value": "masterThesis", "language": null, "element": "type", "qualifier": "publication", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.oppiainekoodi", "value": "4041", "language": "", "element": "subject", "qualifier": "oppiainekoodi", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.yso", "value": "matematiikka", "language": null, "element": "subject", "qualifier": "yso", "schema": "dc"}, {"key": "dc.format.content", "value": "fulltext", "language": null, "element": "format", "qualifier": "content", "schema": "dc"}, {"key": "dc.rights.url", "value": "https://rightsstatements.org/page/InC/1.0/", "language": null, "element": "rights", "qualifier": "url", "schema": "dc"}, {"key": "dc.type.okm", "value": "G2", "language": null, "element": "type", "qualifier": "okm", "schema": "dc"}]
id jyx.123456789_68306
language fin
last_indexed 2025-02-18T10:54:13Z
main_date 2020-01-01T00:00:00Z
main_date_str 2020
online_boolean 1
online_urls_str_mv {"url":"https:\/\/jyx.jyu.fi\/bitstreams\/c66d8c76-612e-45a4-b4fc-598af934298a\/download","text":"URN:NBN:fi:jyu-202003252523.pdf","source":"jyx","mediaType":"application\/pdf"}
publishDate 2020
record_format qdc
source_str_mv jyx
spellingShingle Nurminen, Janne Sähköisen impedanssitomografian inversio-ongelma inversio-ongelmat Calderón ongelma osittaisdifferentiaaliyhtälöt sähköinen impedanssitomografia johtavuusyhtälö Schrödingerin yhtälö Matematiikka Mathematics 4041 matematiikka
title Sähköisen impedanssitomografian inversio-ongelma
title_full Sähköisen impedanssitomografian inversio-ongelma
title_fullStr Sähköisen impedanssitomografian inversio-ongelma Sähköisen impedanssitomografian inversio-ongelma
title_full_unstemmed Sähköisen impedanssitomografian inversio-ongelma Sähköisen impedanssitomografian inversio-ongelma
title_short Sähköisen impedanssitomografian inversio-ongelma
title_sort sähköisen impedanssitomografian inversio ongelma
title_txtP Sähköisen impedanssitomografian inversio-ongelma
topic inversio-ongelmat Calderón ongelma osittaisdifferentiaaliyhtälöt sähköinen impedanssitomografia johtavuusyhtälö Schrödingerin yhtälö Matematiikka Mathematics 4041 matematiikka
topic_facet 4041 Calderón ongelma Matematiikka Mathematics Schrödingerin yhtälö inversio-ongelmat johtavuusyhtälö matematiikka osittaisdifferentiaaliyhtälöt sähköinen impedanssitomografia
url https://jyx.jyu.fi/handle/123456789/68306 http://www.urn.fi/URN:NBN:fi:jyu-202003252523
work_keys_str_mv AT nurminenjanne sähköisenimpedanssitomografianinversioongelma