Fraktaalilaatoitukset

Tämä tutkielma käsittelee fraktaaligeometriaa sekä tarkemmin fraktaalilaatoituksia tasossa. Tutkielman pääasiallisena tarkoituksena on luoda pohja fraktaalilaatoitusten muodostamiselle. Tämä tehdään määritelemällä ensin Hausdorffin etäisyys sekä Banachin kiintopistelause. Jotta näiden määrittäminen...

Full description

Bibliographic Details
Main Author: Kankaanpää, Saana Kaarina
Other Authors: Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta, Faculty of Sciences, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Department of Mathematics and Statistics, Jyväskylän yliopisto, University of Jyväskylä
Format: Master's thesis
Language:fin
Published: 2020
Subjects:
Online Access: https://jyx.jyu.fi/handle/123456789/67854
_version_ 1826225723963080704
author Kankaanpää, Saana Kaarina
author2 Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Faculty of Sciences Matematiikan ja tilastotieteen laitos Department of Mathematics and Statistics Jyväskylän yliopisto University of Jyväskylä
author_facet Kankaanpää, Saana Kaarina Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Faculty of Sciences Matematiikan ja tilastotieteen laitos Department of Mathematics and Statistics Jyväskylän yliopisto University of Jyväskylä Kankaanpää, Saana Kaarina Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Faculty of Sciences Matematiikan ja tilastotieteen laitos Department of Mathematics and Statistics Jyväskylän yliopisto University of Jyväskylä
author_sort Kankaanpää, Saana Kaarina
datasource_str_mv jyx
description Tämä tutkielma käsittelee fraktaaligeometriaa sekä tarkemmin fraktaalilaatoituksia tasossa. Tutkielman pääasiallisena tarkoituksena on luoda pohja fraktaalilaatoitusten muodostamiselle. Tämä tehdään määritelemällä ensin Hausdorffin etäisyys sekä Banachin kiintopistelause. Jotta näiden määrittäminen voidaan tehdä, tutustutaan myös metrisiin avaruuksiin sekä niiden ominaisuuksiin. Tutkielman tärkeänä osana ovat iteroidut funktiojärjestelmät (IFS) sekä niiden attraktorit. IFS on fraktaalien rakentamiseksi luotu järjestelmä, jonka avulla fraktaalien mallintaminen on mahdollista. Tutkielmassa todistetaan Banachin kiintopistelausetta käyttäen, että täydellisessä metrisessä avaruudessa maaritetyllä IFS:llä on olemassa yksikäsitteinen attraktori. Tässä tutkielmassa fraktaaleja tutkitaan kaksiulotteisessa avaruudessa. Fraktaaliesimerkkejä käydään läpi ensin neljä kappaletta. Nämä ovat Cantorin joukko, Kochin käyrä, Sierpinskin kolmio sekä Mandelbrotin joukko. Näistä kolme ensimmäistä ovat IFS:n antamia. Annamme näille esimerkeille funktiojärjestelmät, joilla fraktaalit on helppo iteroiden muodostaa. Itse fraktaalilaatoituksiin tutustutaan neliöaatoitusten pohjalta. Fraktaalilaatoitusten todetaan koostuvan itsesimilaarisista fraktaalilaatoista eli jokainen yksittäinen laatta on toisensa kopio. Laattojen muodostamisessa käytetään iteroitua funktiojärjestelmää, jossa kutistussuhteet ovat kaikilla funktioilla samat ja saatu laatoitus riippuu vain siirtovektoreiden valinnasta. Tutkielma sisältää esimerkkejä, joiden avulla huomataan, mitkä ovat järkeviä valintoja siirtovektoreille ja mitkä eivät. Tarkkoja ehtoja fraktaalilaatoitusten muodostamiselle ei kuitenkaan anneta. Tutkielman alussa tutustutaan myös hieman fraktaalien historiaan. Kerrotaan esimerkiksi ensimmäisistä löydetyistä fraktaaleista sekä siitä, milloin fraktaaleja alettiin mallintamaan matemaattisesti.
first_indexed 2020-02-18T21:19:07Z
format Pro gradu
free_online_boolean 1
fullrecord [{"key": "dc.contributor.advisor", "value": "Rajala, Tapio", "language": "", "element": "contributor", "qualifier": "advisor", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.author", "value": "Kankaanp\u00e4\u00e4, Saana Kaarina", "language": "", "element": "contributor", "qualifier": "author", "schema": "dc"}, {"key": "dc.date.accessioned", "value": "2020-02-18T07:39:00Z", "language": null, "element": "date", "qualifier": "accessioned", "schema": "dc"}, {"key": "dc.date.available", "value": "2020-02-18T07:39:00Z", "language": null, "element": "date", "qualifier": "available", "schema": "dc"}, {"key": "dc.date.issued", "value": "2020", "language": "", "element": "date", "qualifier": "issued", "schema": "dc"}, {"key": "dc.identifier.uri", "value": "https://jyx.jyu.fi/handle/123456789/67854", "language": null, "element": "identifier", "qualifier": "uri", "schema": "dc"}, {"key": "dc.description.abstract", "value": "T\u00e4m\u00e4 tutkielma k\u00e4sittelee fraktaaligeometriaa sek\u00e4 tarkemmin fraktaalilaatoituksia tasossa. Tutkielman p\u00e4\u00e4asiallisena tarkoituksena on luoda pohja fraktaalilaatoitusten muodostamiselle. T\u00e4m\u00e4 tehd\u00e4\u00e4n m\u00e4\u00e4ritelem\u00e4ll\u00e4 ensin Hausdorffin et\u00e4isyys sek\u00e4 Banachin kiintopistelause. Jotta n\u00e4iden m\u00e4\u00e4ritt\u00e4minen voidaan tehd\u00e4, tutustutaan my\u00f6s metrisiin avaruuksiin sek\u00e4 niiden ominaisuuksiin.\n\nTutkielman t\u00e4rke\u00e4n\u00e4 osana ovat iteroidut funktioj\u00e4rjestelm\u00e4t (IFS) sek\u00e4 niiden attraktorit. IFS on fraktaalien rakentamiseksi luotu j\u00e4rjestelm\u00e4, jonka avulla fraktaalien mallintaminen on mahdollista. Tutkielmassa todistetaan Banachin\nkiintopistelausetta k\u00e4ytt\u00e4en, ett\u00e4 t\u00e4ydellisess\u00e4 metrisess\u00e4 avaruudessa maaritetyll\u00e4\nIFS:ll\u00e4 on olemassa yksik\u00e4sitteinen attraktori.\n\nT\u00e4ss\u00e4 tutkielmassa fraktaaleja tutkitaan kaksiulotteisessa avaruudessa. Fraktaaliesimerkkej\u00e4 k\u00e4yd\u00e4\u00e4n l\u00e4pi ensin nelj\u00e4 kappaletta. N\u00e4m\u00e4 ovat Cantorin joukko, Kochin k\u00e4yr\u00e4, Sierpinskin kolmio sek\u00e4 Mandelbrotin joukko. N\u00e4ist\u00e4 kolme ensimm\u00e4ist\u00e4 ovat IFS:n antamia. Annamme n\u00e4ille esimerkeille funktioj\u00e4rjestelm\u00e4t, joilla fraktaalit on helppo iteroiden muodostaa.\n\nItse fraktaalilaatoituksiin tutustutaan neli\u00f6aatoitusten pohjalta. Fraktaalilaatoitusten todetaan koostuvan itsesimilaarisista fraktaalilaatoista eli jokainen yksitt\u00e4inen laatta on toisensa kopio. Laattojen muodostamisessa k\u00e4ytet\u00e4\u00e4n iteroitua funktioj\u00e4rjestelm\u00e4\u00e4, jossa kutistussuhteet ovat kaikilla funktioilla samat ja saatu laatoitus riippuu vain siirtovektoreiden valinnasta. Tutkielma sis\u00e4lt\u00e4\u00e4 esimerkkej\u00e4, joiden avulla huomataan, mitk\u00e4 ovat j\u00e4rkevi\u00e4 valintoja siirtovektoreille ja mitk\u00e4 eiv\u00e4t. Tarkkoja ehtoja fraktaalilaatoitusten muodostamiselle ei kuitenkaan anneta.\n\nTutkielman alussa tutustutaan my\u00f6s hieman fraktaalien historiaan. Kerrotaan\nesimerkiksi ensimm\u00e4isist\u00e4 l\u00f6ydetyist\u00e4 fraktaaleista sek\u00e4 siit\u00e4, milloin fraktaaleja\nalettiin mallintamaan matemaattisesti.", "language": "fi", "element": "description", "qualifier": "abstract", "schema": "dc"}, {"key": "dc.description.provenance", "value": "Submitted by Miia Hakanen (mihakane@jyu.fi) on 2020-02-18T07:39:00Z\nNo. of bitstreams: 0", "language": "en", "element": "description", "qualifier": "provenance", "schema": "dc"}, {"key": "dc.description.provenance", "value": "Made available in DSpace on 2020-02-18T07:39:00Z (GMT). No. of bitstreams: 0\n Previous issue date: 2020", "language": "en", "element": "description", "qualifier": "provenance", "schema": "dc"}, {"key": "dc.format.extent", "value": "29", "language": "", "element": "format", "qualifier": "extent", "schema": "dc"}, {"key": "dc.format.mimetype", "value": "application/pdf", "language": null, "element": "format", "qualifier": "mimetype", "schema": "dc"}, {"key": "dc.language.iso", "value": "fin", "language": null, "element": "language", "qualifier": "iso", "schema": "dc"}, {"key": "dc.rights", "value": "In Copyright", "language": "en", "element": "rights", "qualifier": null, "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.other", "value": "fraktaalilaatoitus", "language": "", "element": "subject", "qualifier": "other", "schema": "dc"}, {"key": "dc.title", "value": "Fraktaalilaatoitukset", "language": "", "element": "title", "qualifier": null, "schema": "dc"}, {"key": "dc.type", "value": "master thesis", "language": null, "element": "type", "qualifier": null, "schema": "dc"}, {"key": "dc.identifier.urn", "value": "URN:NBN:fi:jyu-202002182093", "language": "", "element": "identifier", "qualifier": "urn", "schema": "dc"}, {"key": "dc.type.ontasot", "value": "Pro gradu -tutkielma", "language": "fi", "element": "type", "qualifier": "ontasot", "schema": "dc"}, {"key": "dc.type.ontasot", "value": "Master\u2019s thesis", "language": "en", "element": "type", "qualifier": "ontasot", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.faculty", "value": "Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta", "language": "fi", "element": "contributor", "qualifier": "faculty", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.faculty", "value": "Faculty of Sciences", "language": "en", "element": "contributor", "qualifier": "faculty", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.department", "value": "Matematiikan ja tilastotieteen laitos", "language": "fi", "element": "contributor", "qualifier": "department", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.department", "value": "Department of Mathematics and Statistics", "language": "en", "element": "contributor", "qualifier": "department", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.organization", "value": "Jyv\u00e4skyl\u00e4n yliopisto", "language": "fi", "element": "contributor", "qualifier": "organization", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.organization", "value": "University of Jyv\u00e4skyl\u00e4", "language": "en", "element": "contributor", "qualifier": "organization", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.discipline", "value": "Matematiikan opettajankoulutus", "language": "fi", "element": "subject", "qualifier": "discipline", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.discipline", "value": "Teacher education programme in Mathematics", "language": "en", "element": "subject", "qualifier": "discipline", "schema": "dc"}, {"key": "yvv.contractresearch.funding", "value": "0", "language": "", "element": "contractresearch", "qualifier": "funding", "schema": "yvv"}, {"key": "dc.type.coar", "value": "http://purl.org/coar/resource_type/c_bdcc", "language": null, "element": "type", "qualifier": "coar", "schema": "dc"}, {"key": "dc.rights.accesslevel", "value": "openAccess", "language": null, "element": "rights", "qualifier": "accesslevel", "schema": "dc"}, {"key": "dc.type.publication", "value": "masterThesis", "language": null, "element": "type", "qualifier": "publication", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.oppiainekoodi", "value": "4041", "language": "", "element": "subject", "qualifier": "oppiainekoodi", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.yso", "value": "matematiikka", "language": null, "element": "subject", "qualifier": "yso", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.yso", "value": "fraktaalit", "language": null, "element": "subject", "qualifier": "yso", "schema": "dc"}, {"key": "dc.format.content", "value": "fulltext", "language": null, "element": "format", "qualifier": "content", "schema": "dc"}, {"key": "dc.rights.url", "value": "https://rightsstatements.org/page/InC/1.0/", "language": null, "element": "rights", "qualifier": "url", "schema": "dc"}, {"key": "dc.type.okm", "value": "G2", "language": null, "element": "type", "qualifier": "okm", "schema": "dc"}]
id jyx.123456789_67854
language fin
last_indexed 2025-02-18T10:54:47Z
main_date 2020-01-01T00:00:00Z
main_date_str 2020
online_boolean 1
online_urls_str_mv {"url":"https:\/\/jyx.jyu.fi\/bitstreams\/1235d3c3-e2bf-4eed-98ee-90e088b52348\/download","text":"URN:NBN:fi:jyu-202002182093.pdf","source":"jyx","mediaType":"application\/pdf"}
publishDate 2020
record_format qdc
source_str_mv jyx
spellingShingle Kankaanpää, Saana Kaarina Fraktaalilaatoitukset fraktaalilaatoitus Matematiikan opettajankoulutus Teacher education programme in Mathematics 4041 matematiikka fraktaalit
title Fraktaalilaatoitukset
title_full Fraktaalilaatoitukset
title_fullStr Fraktaalilaatoitukset Fraktaalilaatoitukset
title_full_unstemmed Fraktaalilaatoitukset Fraktaalilaatoitukset
title_short Fraktaalilaatoitukset
title_sort fraktaalilaatoitukset
title_txtP Fraktaalilaatoitukset
topic fraktaalilaatoitus Matematiikan opettajankoulutus Teacher education programme in Mathematics 4041 matematiikka fraktaalit
topic_facet 4041 Matematiikan opettajankoulutus Teacher education programme in Mathematics fraktaalilaatoitus fraktaalit matematiikka
url https://jyx.jyu.fi/handle/123456789/67854 http://www.urn.fi/URN:NBN:fi:jyu-202002182093
work_keys_str_mv AT kankaanpääsaanakaarina fraktaalilaatoitukset