| Summary: | Tämän tutkielman tarkoituksena on tutkia vakioleveitä joukkoja ja niihin liittyviä
tuloksia. Vakioleveät joukot ovat joukkoja, joiden leveys jokaiseen suuntaan on yhtä
suuri. Tasossa tämä tarkoittaa sitä, että rajattaessa joukko kahden yhdensuuntaisen
suoran väliin siten, että suorat juuri koskettavat joukkoa, suorien etäisyys on vakio
riippumatta siitä, missä kohtaa suorat sivuavat joukkoa. Yksinkertaisin esimerkki
vakioleveästä joukosta on kiekko, mutta joukkoja on muitakin. Eräs tunnetuimmista
vakioleveistä joukoista on Franz Reuleaux’lta nimensä saanut Reuleaux’n kolmio, joka
muodostetaan tasasivuisesta kolmiosta yhdistämällä viereiset kolmion kärjet ympyrän
kaarella.
Työssä lähdetään liikkeelle konveksin joukon määritelmästä sekä tutustutaan konveksien
joukkojen geometriaan yleisessä avaruudessa. Lisäksi tutustutaan hypertason
ja tukitason määritelmiin ja todistetaan, että kompaktin ja konveksin joukon jokaisessa
reunapisteessä on olemassa tukitaso. Seuraavaksi siirrytään joukon leveyden määrittelyyn,
mistä päästään luontevasti tutkimaan vakioleveitä joukkoja. Tämän jälkeen
rajoitutaan tasoon, sillä vaikka vakioleveitä joukkoja on tutkittu melko paljon, niistä
tiedetään suhteellisen vähän R2:sta korkeammissa ulottuvuuksissa.
Työn päätuloksena todistetaan Barbierin lause, jonka mukaan vakioleveiden joukkojen
piiri lasketaan kertomalla joukon halkaisija piillä, kuten lasketaan myös ympyrän
piirin pituus. Lisäksi todistetaan, että edellä mainittu Reuleaux’n kolmio on
vakioleveä ja annetaan muita esimerkkejä tason vakioleveistä joukoista. Kaksiulotteisten
vakioleveiden joukkojen pinta-aloille voidaan myös antaa rajat. Annetun levyisistä
vakioleveistä joukoista suurin pinta-ala on kiekolla ja pienin pinta-ala on Reuleaux’n
kolmiolla. Lopuksi esitellään hieman kolmiulotteisten vakioleveiden joukkojen eli kappaleiden
muodostamistapoja sekä esimerkkejä niistä.
Vakioleveillä joukoilla on myös monia sovelluskohteita. Niitä on käytetty vanhanaikaisissa
filmiprojektoreissa filmin liikuttamiseen, Wankelin moottorissa kiertomäntänä
sekä poranterissä. Mielenkiintoisin näistä on poranterä, sillä vakioleveisiin joukkoihin
pohjautuvilla terillä on mahdollista porata neliön mallisia reikiä. Vakioleveitä
joukkoja voi löytää myös Iso-Britannian kolikoista, joista 20 ja 50 pennyn kolikot ovat
muodoltaan vakioleveitä.
|
|---|