| fullrecord |
[{"key": "dc.contributor.advisor", "value": "Juutinen, Petri", "language": "", "element": "contributor", "qualifier": "advisor", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.author", "value": "Mikkola, Topias", "language": "", "element": "contributor", "qualifier": "author", "schema": "dc"}, {"key": "dc.date.accessioned", "value": "2018-09-26T05:58:42Z", "language": "", "element": "date", "qualifier": "accessioned", "schema": "dc"}, {"key": "dc.date.available", "value": "2018-09-26T05:58:42Z", "language": "", "element": "date", "qualifier": "available", "schema": "dc"}, {"key": "dc.date.issued", "value": "2018", "language": "", "element": "date", "qualifier": "issued", "schema": "dc"}, {"key": "dc.identifier.uri", "value": "https://jyx.jyu.fi/handle/123456789/59667", "language": "", "element": "identifier", "qualifier": "uri", "schema": "dc"}, {"key": "dc.description.abstract", "value": "T\u00e4ss\u00e4 tutkielmassa m\u00e4\u00e4ritell\u00e4\u00e4n sini- ja kosinifunktiot sinifunktion k\u00e4\u00e4nteisfunktion avulla ja n\u00e4iden funktioiden yleistykset eli funktiot sin<i><SUB>p</SUB></i> ja cos<i><SUB>p</SUB></i> aiempia m\u00e4\u00e4ritelmi\u00e4 varioimalla. Samalla osoitetaan, ett\u00e4 merkitt\u00e4v\u00e4 osa sini- ja kosinifunktioiden ominaisuuksista periytyy yleistyksille. Edelleen tutkitaan mill\u00e4 tasolla yleistykset vastaavat geometrisess\u00e4 mieless\u00e4 tavallisia sini- ja kosinifunktioita. Lopuksi tarkastellaan lyhyesti yleistettyjen funktioiden m\u00e4\u00e4rittelyn taustoja ja merkityst\u00e4 kirjallisuudessa.\r\n\r\nSinifunktio m\u00e4\u00e4ritell\u00e4\u00e4n m\u00e4\u00e4rittelem\u00e4ll\u00e4 ensin sen k\u00e4\u00e4nteisfunktio avoimella rajoitetulla v\u00e4lill\u00e4 integroimalla sinifunktion k\u00e4\u00e4nteisfunktion derivaattaa. K\u00e4\u00e4nteisfunktio laajennetaan m\u00e4\u00e4ritellyksi my\u00f6s v\u00e4lin p\u00e4\u00e4tepisteiss\u00e4. K\u00e4\u00e4nteisfunktion avulla m\u00e4\u00e4ritell\u00e4\u00e4n sinifunktio paloittain koko reaaliakselille hy\u00f6dynt\u00e4en k\u00e4\u00e4nteisfunktiolta periytyvi\u00e4 ominaisuuksia kuten jatkuvuutta, rajoittuneisuutta ja parittomuutta. Sitten osoitetaan, ett\u00e4 my\u00f6s k\u00e4\u00e4nteisfunktion derivoituvuus periytyy sinifunktiolle ja k\u00e4sitt\u00e4\u00e4 koko reaaliakselin. T\u00e4m\u00e4n j\u00e4lkeen kosinifunktio m\u00e4\u00e4ritell\u00e4\u00e4n sinifunktion derivaattana ja osoitetaan, ett\u00e4 kosinifunktiolla on vastaavat ominaisuudet kuin sinifunktiollakin. Huomataan, ett\u00e4 sinifunktio saadaan kosinifunktion derivaatan vastalukuna ja siten n\u00e4m\u00e4 funktiot ovat \u00e4\u00e4rett\u00f6m\u00e4sti derivoituvia. Sini- ja kosinifunktiolle osoitetaan my\u00f6s muutamia yhteenlaskukaavoja sek\u00e4 Pythagoraan trigonometrinen identiteetti.\r\n\r\nFunkiot sin<i><SUB>p</SUB></i> ja cos<i><SUB>p</SUB></i> m\u00e4\u00e4ritell\u00e4\u00e4n aiempien m\u00e4\u00e4rittelyiden rakennetta hy\u00f6dynt\u00e4en siten, ett\u00e4 uudet funktiot ovat parametrista <i><SUB>p</SUB></i> riippuvaisia ja yhtyv\u00e4t sini- ja kosinifunktioon parametrin <i><SUB>p</SUB></i> arvolla kaksi. Sitten osoitetaan, ett\u00e4 my\u00f6s yleistyksill\u00e4 on edell\u00e4 mainitut klassisten vastineidensa ominaisuudet. Tosin sin<i><SUB>p</SUB></i>-funktion tiedet\u00e4\u00e4n olevan vain kertaalleen derivoituva, eik\u00e4 funktiota sin<i><SUB>p</SUB></i> siten voida suoraan esitt\u00e4\u00e4 cos<i><SUB>p</SUB></i> -funktion derivaatan avulla. Funktioille sin<i><SUB>p</SUB></i> tai cos<i><SUB>p</SUB></i> ei voida my\u00f6sk\u00e4\u00e4n johtaa Pythagoraan trigonometrisen identiteetin lis\u00e4ksi muita yksinkertaisia vastineita sini- ja kosinifunktiolle n\u00e4ytetyist\u00e4 yhteenlaskukaavoista.\r\n\r\nGeometrista tarkastelua varten m\u00e4\u00e4ritell\u00e4\u00e4n l<i><SUB>p</SUB></i> -normi, joka vastaa tavallista Euklidista normia parametrin <i><SUB>p</SUB></i> arvolla kaksi. Sitten osoitetaan, ett\u00e4 sin<i><SUB>p</SUB></i>- ja cos<i><SUB>p</SUB></i> -funktioilla voidaan parametrisoida l<i><SUB>p</SUB></i> -normin m\u00e4\u00e4ritt\u00e4m\u00e4 yksikk\u00f6ympyr\u00e4. T\u00e4m\u00e4n tuloksen avulla m\u00e4\u00e4ritet\u00e4\u00e4n klassista napakoordinaattiesityst\u00e4 vastaava yleistetty napakoordinaattiesitys l<i><SUB>p</SUB></i> -normin viritt\u00e4m\u00e4\u00e4n reaalitasoon. Samalla n\u00e4ytet\u00e4\u00e4n, ett\u00e4 funktioiden sin<i><SUB>p</SUB></i> ja cos<i><SUB>p</SUB></i> argumentit eiv\u00e4t klassisen tapauksen tapaan vastaa yksikk\u00f6ympyr\u00e4n sektorin kaaren pituutta. Huomataan my\u00f6s, ettei Euklidisesta metriikasta tuttu sektorin kaaren pituuden ja pinta-alan v\u00e4linen yhteys ole voimassa muissa l<i><SUB>p</SUB></i> -normin viritt\u00e4miss\u00e4 reaalitasoissa.\r\n\r\nEtsitt\u00e4ess\u00e4 geometrist\u00e4 tulkintaa yleistetyn sinifunktion argumentille huomataan, ett\u00e4 yksikk\u00f6ympyr\u00e4n sektorin kaksinkertainen pinta-ala toimii er\u00e4\u00e4n 1800-luvulla m\u00e4\u00e4ritetyn sinifunktion yleistyksen argumenttina. Kirjallisuusl\u00e4hteiden perusteella voidaan todeta, ett\u00e4 my\u00f6s my\u00f6hemmin t\u00e4t\u00e4 aihetta tutkineet matemaatikot ovat p\u00e4\u00e4tyneet yleistettyihin trigonometrisiin funktioihin tutkiessaan alkuarvo-ongelmia. Erityisesti sin<i><SUB>p</SUB></i>-funktio on ratkaisu er\u00e4\u00e4seen eri muodoissaan paljon tutkittuun Dirichtletin alkuarvo-ongelmaan.", "language": "fi", "element": "description", "qualifier": "abstract", "schema": "dc"}, {"key": "dc.description.provenance", "value": "Submitted by Paivi Vuorio (paelvuor@jyu.fi) on 2018-09-26T05:58:42Z\r\nNo. of bitstreams: 0", "language": "en", "element": "description", "qualifier": "provenance", "schema": "dc"}, {"key": "dc.description.provenance", "value": "Made available in DSpace on 2018-09-26T05:58:42Z (GMT). No. of bitstreams: 0\r\n Previous issue date: 2018", "language": "en", "element": "description", "qualifier": "provenance", "schema": "dc"}, {"key": "dc.format.extent", "value": "34", "language": "", "element": "format", "qualifier": "extent", "schema": "dc"}, {"key": "dc.format.mimetype", "value": "application/pdf", "language": null, "element": "format", "qualifier": "mimetype", "schema": "dc"}, {"key": "dc.language.iso", "value": "fin", "language": null, "element": "language", "qualifier": "iso", "schema": "dc"}, {"key": "dc.rights", "value": "In Copyright", "language": "en", "element": "rights", "qualifier": null, "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.other", "value": "yleistetyt trigonometriset funktiot", "language": "", "element": "subject", "qualifier": "other", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.other", "value": "sinp", "language": "", "element": "subject", "qualifier": "other", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.other", "value": "cosp", "language": "", "element": "subject", "qualifier": "other", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.other", "value": "sinifunktio", "language": "", "element": "subject", "qualifier": "other", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.other", "value": "kosinifunktio", "language": "", "element": "subject", "qualifier": "other", "schema": "dc"}, {"key": "dc.title", "value": "Johdanto yleistettyyn sini- ja kosinifunktioon", "language": "", "element": "title", "qualifier": null, "schema": "dc"}, {"key": "dc.type", "value": "master thesis", "language": null, "element": "type", "qualifier": null, "schema": "dc"}, {"key": "dc.identifier.urn", "value": "URN:NBN:fi:jyu-201809264244", "language": "", "element": "identifier", "qualifier": "urn", "schema": "dc"}, {"key": "dc.type.ontasot", "value": "Pro gradu -tutkielma", "language": "fi", "element": "type", "qualifier": "ontasot", "schema": "dc"}, {"key": "dc.type.ontasot", "value": "Master\u2019s thesis", "language": "en", "element": "type", "qualifier": "ontasot", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.faculty", "value": "Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta", "language": "fi", "element": "contributor", "qualifier": "faculty", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.faculty", "value": "Faculty of Sciences", "language": "en", "element": "contributor", "qualifier": "faculty", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.department", "value": "Matematiikan ja tilastotieteen laitos", "language": "fi", "element": "contributor", "qualifier": "department", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.department", "value": "Department of Mathematics and Statistics", "language": "en", "element": "contributor", "qualifier": "department", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.organization", "value": "Jyv\u00e4skyl\u00e4n yliopisto", "language": "fi", "element": "contributor", "qualifier": "organization", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.organization", "value": "University of Jyv\u00e4skyl\u00e4", "language": "en", "element": "contributor", "qualifier": "organization", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.discipline", "value": "Matematiikka", "language": "fi", "element": "subject", "qualifier": "discipline", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.discipline", "value": "Mathematics", "language": "en", "element": "subject", "qualifier": "discipline", "schema": "dc"}, {"key": "yvv.contractresearch.funding", "value": "0", "language": "", "element": "contractresearch", "qualifier": "funding", "schema": "yvv"}, {"key": "dc.type.coar", "value": "http://purl.org/coar/resource_type/c_bdcc", "language": null, "element": "type", "qualifier": "coar", "schema": "dc"}, {"key": "dc.rights.accesslevel", "value": "openAccess", "language": null, "element": "rights", "qualifier": "accesslevel", "schema": "dc"}, {"key": "dc.type.publication", "value": "masterThesis", "language": null, "element": "type", "qualifier": "publication", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.oppiainekoodi", "value": "4041", "language": "", "element": "subject", "qualifier": "oppiainekoodi", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.yso", "value": "trigonometriset funktiot", "language": "", "element": "subject", "qualifier": "yso", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.yso", "value": "funktiot", "language": "", "element": "subject", "qualifier": "yso", "schema": "dc"}, {"key": "dc.format.content", "value": "fulltext", "language": null, "element": "format", "qualifier": "content", "schema": "dc"}, {"key": "dc.rights.url", "value": "https://rightsstatements.org/page/InC/1.0/", "language": null, "element": "rights", "qualifier": "url", "schema": "dc"}, {"key": "dc.type.okm", "value": "G2", "language": null, "element": "type", "qualifier": "okm", "schema": "dc"}]
|