Symmetrisointi ja Pólya-Szegő-epäyhtälö - Yli-Sorvari, Arttu (2018)
Todistetaan variaatio-ongelmissa hyödyllinen ja hyvin tunnettu Pólyan ja Szegőn epäyhtälö, jonka mukaan Dirichlet'n \(p\)-energia pienenee Sobolev-funktioiden Schwarzin symmetrisoinnissa. Tämä voidaan muotoilla siten, että jos \(u \in W^{1,p}(\mathbb{R}^n)\), \(1 \le p < \infty\) ja \(u^\star\) on funktion \(u\) vähenevä pallosymmetrinen uudelleenjärjestys, niin pätee \[ \int_{\mathbb{R}^n} |\nabla u^\star|^p\,dm_n \le \int_{\mathbb{R}^n} |\nabla u|^p\,dm_n. \]