| Yhteenveto: | Tämän tutkielman tarkoituksena on tarkastella isometrioita ja similariteettejä tasossa
kompleksilukujen avulla. Tässä kirjoitelmassa tarvitaan kompleksilukujen ominaisuuksista
ainakin kompleksiluvun käänteisluku ja argumenttien laskusäännöt. Lisäksi
isometrioiden tulosten todistamista helpottavat erilaiset kompleksilukujen esitystavat,
kuten napakoordinaattiesitys ja imaginääriyksikön avulla esittäminen. Isometriat
ovat kuvauksia, jotka säilyttävät jokaisen pisteen välisen etäisyyden kuvauksen
aikana. Tason isometrioita ovat siirto, kierto, peilaus ja peilauksen ja siirron yhdisteenä
saatava liukupeilaus.
Edellä mainitut kaikki Gaussin tason isometriat voidaan jakaa kahteen luokkaan:
suoriin tai vastakkaisiin isometrioihin. Suoriin isometrioihin kuuluvat siirrot ja kierrot.
Vastakkaisiin kuuluvat peilaukset ja liukupeilaukset.
Isometriat jaotellaan myös tarkemmin vielä kiintopisteiden avulla. Jos suoralla
isometrialla on kiintopiste, se on tämän kiintopisteen suhteen kierto, ja jos sillä ei
ole kiintopistettä, se on siirto. Vastakkaiset isometriat jaotellaan kiintopisteen suhteen
liukupeilaukseen ja suoran suhteen peilaukseen. Suoran suhteen peilauksilla on
kiintopiste ja liukupeilauksilla ei ole kiintopistettä. Lisäksi siirto ja kierto voidaan
ilmoittaa kahden suoran suhteen peilauksen avulla. Näiden tietojen avulla saadaan,
että jokainen isometria voidaan esittää korkeintaan kolmen suoran suhteen peilauksen
avulla.
Similariteetit joko venyttävät tai kutistavat kuvia. Similariteetit jaetaan suoriin
ja vastakkaisiin similariteetteihin, kuten isometriatkin. Kummatkin kuvaukset säilyttävät
kolmioiden kulmien suuruudet samana kuvautuessa. Lisäksi näille kummallekin
kuvaukselle voidaan muotoilla Hjelmslevin lause. Isometroille tämä tarkoittaa sitä,
että kuvatun suoran kuvapisteiden ja alkuperäisen suoran pisteiden välisten janojen
keskipisteet ovat joko samalla suoralla tai kulkevat yhden ainoan pisteen kautta.
Similariteeteille nämä eivät ole keskipisteitä, vaan janat jaetaan samassa suhteessa.
|
|---|