| Summary: | Hyperreaaliluvut ovat reaalilukujen joukon laajennus, jossa on olemassa äärettömän
pieniä ja suuria lukuja. Hyperreaalilukuja käytetään differentiaali- ja integraalilaskennassa.
Metodi on suosittu erityisesti fyysikoiden keskuudessa. Analyysin
osa-aluetta, jossa hyödynnetään hyperreaalilukuja, kutsutaan epästandardiksi analyysiksi.
Epästandardissa analyysissä käytetään analyysille epästandardeja työkaluja,
josta nimi juontuu. Hyperreaalilukujen edut verrattaessa reaalilukuihin
tulevat esille epästandardissa analyysissä. Varsinkin fysiikassa hyödynnetään yhtälöiden
differentiaalimuotoja ja integroinnissa lähtökohtana pidetään infinitesimaalin
valintaa.
Tutkielmassa hyperreaaliluvut määritellään lähtien kuudesta aksioomasta. Kaksi
ensimmäistä aksioomaa vastaavat reaalilukujen aksioomia. Kolmas aksiooma takaa
yhden positiivisen infinitesimaalin olemassaolon. Tämän lisäksi tarvitaan vielä
aksiooman standardiosalle ja kaksi aksioomaa funktioille. Jokainen äärellinen hyperreaaliluku
on mielivaltaisen lähellä yhtä reaalilukua. Hyperreaaliluvun standardiosa
on se reaaliluku, jota lähellä hyperreaaliluku on.
Epästandardista analyysista ensimmäisenä määritellään jatkuvuus funktioilla hyperreaalilukujen
avulla. Hyperreaalifunktiot ovat funktioita, jotka ovat määrtitelty
hyperreaaliluvuilla. Viides aksiooma takaa jokaiselle funktiolle f vastaavan hyperreaalifunktion
f*, jota kutsutaan funktion f luonnolliseksi jatkoksi. Raja-arvo
määritellään hyperreaaliluvuille standardiosan avulla. Jatkuvuus määritellään rajaarvon
avulla, mutta todistuksissa hyödynnetään standardiosaa. Jatkuvuustuloksista
Bolzanon lauseen todistus on selkeästi lyhyempi hyperreaalilukuja hyödyntäen.
Derivaatta määritellään tutkielmassa standardiosan avulla raja-arvon sijaan. Määritelmän
avulla osoitetaan rationaalifunktioiden derivointitulokset. Lauseiden todistuksia
verrataan standardin analyysin todistuksiin. Viimeisessä kappaleessa
määritellään määrätty integraali hyperreaalilukujen avulla. Määrätyn integraalin
ominaisuuksien lisäksi osoitetaan, että määrätty integraali
välillä [a,b] funktiosta f on funktion f
pinta-ala funktio.
|
|---|