Kinemaattinen inversio-ongelma pallosymmetrisellä monistolla - Mönkkönen, Keijo (2017)
Tutkielman pääaiheena on maanjäristysaaltoihin ja Maan sisärakenteen tutkimiseen liittyvä käänteinen kinemaattinen ongelma. Maapalloa mallinnetaan kolmiulotteisella kompaktilla reunallisella monistolla \(\bar{B}^3(0, R)\), jonka säde normitetaan ykköseksi \(R=1\). Aaltorintamat kulkevat pitkin geodeeseja, jotka sijaitsevat kokonaan avoimessa pallossa \(B^3(0, 1)\) lukuun ottamatta päätepisteitä, jotka ovat reunalla \(S^2(0, 1)\). Symmetrioiden nojalla tarkastelu voidaan siirtää tasoon \(\mathbb{R}^2\), jossa riittää tutkia kiekon \(\bar{B}^2(0, 1)\) geodeeseja. Äänennopeus \(v=v(r)\) oletetaan isotrooppiseksi ja aidosti positiiviseksi \(C^{1,1}([0, 1])\)-funktioksi, jolle \(v^{′}(0)=0\). Lisäksi siltä vaaditaan Herglotz-ehto \(\frac{\text{d}}{\text{d}r}\Big(\frac{r}{v(r)}\Big)>0\) kaikilla \(r\in [0, 1]\). Näiden oletusten vallitessa, Abel-integraalin kääntyvyyttä apuna käyttäen, todistetaan tutkielman päätulos: jos aaltojen matka-ajat reunapisteiden välillä tunnetaan kaikille saapumiskulmille ja reunanopeus \(v(1)\) tiedetään, äänennopeus \(v(r)\) määräytyy datasta yksikäsitteisesti. Maapallon sisä-rakenteesta saadaan siten tietoa pelkästään reunamittauksia tekemällä.