| Yhteenveto: | Meeri Martimo, Gromov-hyperboliset ryhmät (engl. Gromov-hyperbolic
groups), matematiikan pro gradu -tutkielma, 51 s., Jyväskylän yliopisto, Matematiikan
ja tilastotieteen laitos, syksy 2016.
Tässä tutkielmassa käsitellään Gromov-hyperbolisia ryhmiä, jotka ovat geometrisen
ryhmäteorian tutkimuskohde. Geometrinen ryhmäteoria on melko uusi matematiikan
suuntaus, ja 1980-luvulla Gromov-hyperboliset ryhmät kehittänyt ranskalaisvenäläinen
matemaatikko Mikhail Gromov yksi sen uranuurtajista.
Gromov-hyperbolisuus määritellään ensin metrisille avaruuksille tietyllä tavalla ohuiden
kolmioiden avulla. Kolmiot ovat vaaditulla tavalla ohuita esimerkiksi hyperbolisissa
avaruuksissa, mutta eivät reaaliakselia korkeampiulotteisissa euklidisissa
avaruuksissa. Gromov-hyperbolisen metrisen avaruuden reuna voidaan määritellä
kiinnitetystä pisteestä alkavien puolisuorien ekvivalenssiluokkien joukkona. Näin
määriteltyyn reunaan ja sillä täydennettyyn alkuperäiseen metriseen avaruuteen voidaan
edelleen määritellä topologiat. Tällöin osoittautuu, että reunalla täydennetty
metrinen avaruus on alkuperäisen avaruuden kompaktisointi.
Gromov-hyperbolisuuden ja reunan käsitteet yleistetään metrisiltä avaruuksilta
ryhmille samaistamalla ryhmä ja sen Cayleyn graafi kvasi-isometrian avulla. Tällöin
voidaan määritellä, että ryhmä on Gromov-hyperbolinen, jos sen Cayleyn graafi
on metrisenä avaruutena Gromov-hyperbolinen, ja että ryhmän reuna on sen Cayleyn
graafin reuna. Nämä määritelmät ovat mielekkäitä, sillä ryhmän ja sen Cayleyn graafin
kvasi-isometrisuus takaa, että monet niiden suuren mittakaavan ominaisuuksista
ovat samanlaisia.
Gromov-hyperbolisten ryhmien erilaisten reunojen kirjo on mielenkiintoinen: esimerkiksi
tyhjä joukko, kaksi pistettä, ympyrä tai sen osa, Cantorin joukko ja Sierpinskin
matto ovat tässä tutkielmassa esiteltäviä hyperbolisten ryhmien reunoja.
Toinen hyperbolisten ryhmien mielenkiintoinen ominaisuus on ryhmäteorian klassisten
päätösongelmien ratkeavuus. Tutkielman päätuloksena osoitetaan, että Gromov-hyperbolisen
ryhmän sanaongelmalla on ratkaisu. Toisin sanoen jokaiselle Gromov-hyperboliselle
ryhmälle on olemassa ratkaisualgoritmi, joka kertoo äärellisen monen
vaiheen jälkeen, onko mielivaltainen ryhmän virittäjäjoukon alkioiden avulla kirjoitettu
sana ryhmän yksikköalkion esitys vai ei. Tämä tulos ei ole triviaali, sillä on
olemassa äärellisesti esitettyjä ryhmiä, joiden sanaongelmalla ei ole ratkaisua.
|
|---|