Reaalianalyyttistä lukuteoriaa

Tämän tutkielman tarkoituksena on tutustuttaa lukija Bernoullin polynomeihin, Γ-funktioon ja lukuteoreettisiin Mertensin lauseisiin. Näiden lisäksi tutkitaan erästä lukuteoreettista tuloa, ja esitellään tähän tuloon liittyviä tiettävästi uusia tuloksia. Bernoullin polynomien avulla todistetaan...

Täydet tiedot

Bibliografiset tiedot
Päätekijä: Ylinen, Henri
Muut tekijät: Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta, Faculty of Sciences, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Department of Mathematics and Statistics, University of Jyväskylä, Jyväskylän yliopisto
Aineistotyyppi: Pro gradu
Kieli:fin
Julkaistu: 2016
Aiheet:
Linkit: https://jyx.jyu.fi/handle/123456789/51220
Kuvaus
Yhteenveto:Tämän tutkielman tarkoituksena on tutustuttaa lukija Bernoullin polynomeihin, Γ-funktioon ja lukuteoreettisiin Mertensin lauseisiin. Näiden lisäksi tutkitaan erästä lukuteoreettista tuloa, ja esitellään tähän tuloon liittyviä tiettävästi uusia tuloksia. Bernoullin polynomien avulla todistetaan erityisesti Euler-Maclaurinin lause, joka kertoo erilaisten summien ja integraalien välisestä yhteydestä. Γ-funktion avulla taas todistetaan Stirlingin kaava, joka antaa hyvän approksimaation kertoman n! kasvu- nopeudesta. Mertensin lauseista ensimmäinen kertoo, miten nopeasti lukua n pie- nempien alkulukujen käänteislukujen 1/p summa hajaantuu, kun kasvatetaan lukua n. Toinen Mertensin lause kertoo, kuinka nopeasti kohti nollaa menee samojen alkulu- kujen yli otettava tulo, jossa kerrotaan keskenään lukuja 1 − 1/p. Näiden työkalujen avulla tutkitaan lopuksi erästä tuloa. Kiinteälle kokonaisluvulle n tässä tulossa kerrotaan keskenään ne luvut 1 ≤ k ≤ n, joilla ei ole yhteisiä tekijöitä luvun n kanssa. Tälle tulolle saadaan tiettävästi uusia ylä- ja alarajoja, joista osa on tarkkoja. Näiden rajojen etuna on se, ettei niiden laskemiseen tarvita tietoa luvuista k, vaan riittää tietää luvun n alkutekijähajotelma.