| Summary: | Tämän tutkielman tarkoituksena on tutustuttaa lukija Bernoullin polynomeihin,
Γ-funktioon ja lukuteoreettisiin Mertensin lauseisiin. Näiden lisäksi tutkitaan erästä
lukuteoreettista tuloa, ja esitellään tähän tuloon liittyviä tiettävästi uusia tuloksia.
Bernoullin polynomien avulla todistetaan erityisesti Euler-Maclaurinin lause, joka
kertoo erilaisten summien ja integraalien välisestä yhteydestä. Γ-funktion avulla taas
todistetaan Stirlingin kaava, joka antaa hyvän approksimaation kertoman n! kasvu-
nopeudesta. Mertensin lauseista ensimmäinen kertoo, miten nopeasti lukua n pie-
nempien alkulukujen käänteislukujen 1/p summa hajaantuu, kun kasvatetaan lukua n.
Toinen Mertensin lause kertoo, kuinka nopeasti kohti nollaa menee samojen alkulu-
kujen yli otettava tulo, jossa kerrotaan keskenään lukuja 1 − 1/p.
Näiden työkalujen avulla tutkitaan lopuksi erästä tuloa. Kiinteälle kokonaisluvulle n
tässä tulossa kerrotaan keskenään ne luvut 1 ≤ k ≤ n, joilla ei ole yhteisiä tekijöitä
luvun n kanssa. Tälle tulolle saadaan tiettävästi uusia ylä- ja alarajoja, joista osa on
tarkkoja. Näiden rajojen etuna on se, ettei niiden laskemiseen tarvita tietoa luvuista
k, vaan riittää tietää luvun n alkutekijähajotelma.
|
|---|