| fullrecord |
[{"key": "dc.contributor.advisor", "value": "Lehrb\u00e4ck, Juha", "language": null, "element": "contributor", "qualifier": "advisor", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.author", "value": "Roivainen, Elisa", "language": null, "element": "contributor", "qualifier": "author", "schema": "dc"}, {"key": "dc.date.accessioned", "value": "2016-05-24T11:00:58Z", "language": null, "element": "date", "qualifier": "accessioned", "schema": "dc"}, {"key": "dc.date.available", "value": "2016-05-24T11:00:58Z", "language": null, "element": "date", "qualifier": "available", "schema": "dc"}, {"key": "dc.date.issued", "value": "2016", "language": null, "element": "date", "qualifier": "issued", "schema": "dc"}, {"key": "dc.identifier.other", "value": "oai:jykdok.linneanet.fi:1542026", "language": null, "element": "identifier", "qualifier": "other", "schema": "dc"}, {"key": "dc.identifier.uri", "value": "https://jyx.jyu.fi/handle/123456789/49902", "language": null, "element": "identifier", "qualifier": "uri", "schema": "dc"}, {"key": "dc.description.abstract", "value": "Elisa Roivainen, Asymptoottiset kolmiot hyperbolisessa geometriassa\n(engl. Asymptotic Triangles in Hyperbolic Geometry), matematiikan pro gradu -tutkielma,\n59 sivua, Jyv\u00e4skyl\u00e4n yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, kev\u00e4t 2016.\n\nT \u00e4ss\u00e4 ty\u00f6ss\u00e4 esitell\u00e4\u00e4n asymptoottisia kolmioita koskevia tuloksia hyperbolisessa geometriassa. Asymptoottisilla kolmioilla tarkoitetaan kolmioita, joiden k\u00e4rkipisteist\u00e4 ainakin yksi on niin sanottu \u00e4\u00e4rett \u00f6myyspiste. Kolmion sivuista kaksi l\u00e4hestyy siis toisiaan asymptoottisesti tuota pistett\u00e4 kohti, mutta n \u00e4m\u00e4 sivut eiv\u00e4t kuitenkaan leikkaa. Hyperbolisella geometrialla taas tarkoitetaan geometriaa, jossa neutraalin geometrian aksioomien lis\u00e4ksi aksioomaksi on valittu paralleeliaksiooman negaatio. Olkoon l suora ja P piste, joka ei ole suoralla l. Paralleeliaksiooman mukaan t\u00e4ll\u00f6in on olemassa vain yksi pisteen P kautta kulkeva suora, joka on yhdensuuntainen suoran l kanssa. Aksiooman negaation mukaan siis on olemassa ainakin yksi suora l ja yksi piste P, joka ei ole suoralla l, siten, ett\u00e4 t\u00e4m\u00e4n pisteen kautta kulkee ainakin kaksi suoraa, jotka ovat yhdensuuntaisia suoralle l. T\u00e4ss\u00e4 tutkielmassa k\u00e4ytet\u00e4\u00e4n kuitenkin hyperbolisena aksioomana t\u00e4m\u00e4n negaation vahvempaa muotoa: Olkoon l suora ja P piste, joka ei ole suoralla l. T\u00e4ll\u00f6in on olemassa kaksi pisteen P kautta kulkevaa suoraa, jotka ovat yhdensuuntaisia suoralle l ja l\u00e4hestyv\u00e4t sit \u00e4 asymptoottisesti. Vahvemman muodon mukaan siis kaikille suorille l ja kaikille pisteille P, jotka eiv\u00e4t ole suoralla l, p\u00e4tee, ett\u00e4 pisteen P kautta kulkee ainakin kaksi suoraa, jotka ovat yhdensuuntaisia suoralle l. Lis\u00e4ksi se takaa asymptoottisesti toisiaan l\u00e4hestyvien suorien olemassaolon.\n\nPuolisuorat voidaan luokitella sen mukaan, mit\u00e4 \u00e4\u00e4rett \u00f6myyspistett \u00e4 kohti ne kulkevat. Samansuuntaiset eli samalla suoralla samaan suuntaan olevat puolisuorat kulkevat kohti samaa \u00e4\u00e4rett \u00f6myyspistett \u00e4, samoin toisiaan asymptoottisesti l\u00e4hestyv\u00e4t puolisuorat. Kun m\u00e4\u00e4ritell\u00e4\u00e4n rajayhdensuuntaisiksi puolisuorat, jotka ovat joko samansuuntaiset tai asymptoottisesti yhdensuuntaiset, voidaan rajayhdensuuntaisuus todistaa ekvivalenssirelaatioksi. T\u00e4m\u00e4n ekvivalenssirelaation avulla puolisuorat voidaan luokitella yksik\u00e4sitteisesti.\n\nYksinkertaiset asymptoottiset kolmiot muodostuvat kahdesta asymptoottisesti toisiaan l\u00e4hestyv\u00e4st\u00e4 \u00e4 puolisuorasta ja janasta, joka yhdist\u00e4\u00e4 puolisuorien alkupisteet. T\u00e4llaisen kolmion k\u00e4rkipisteist\u00e4 yksi on siis \u00e4\u00e4rett \u00f6myyspiste, ja sill\u00e4 on kaksi kulmaa ja yksi sivujana. Hyperbolinen aksiooma takaa asymptoottisten puolisuorien olemassaolon, joten my\u00f6s yksinkertaisia asymptoottisia kolmioita on olemassa. Yksinkertaisille asymptoottisille kolmioille todistetaan t\u00e4ss\u00e4 ty\u00f6ss\u00e4 kaksi yhtenevyyslausetta sek\u00e4 ulkokulmaep \u00e4yht \u00e4l \u00f6n vastine. Yhtenevyyslauseiden mukaan yksinkertaiset asymptoottiset kolmiot ovat yhtenev\u00e4t, jos niill\u00e4 on kaksi yhtenev\u00e4\u00e4 osaa, joko molemmat kulmat tai kulma ja sivujana.\n\nKaksinkertaiset asymptoottiset kolmiot koostuvat kulmasta ja sen sulkevasta suorasta. Kulman sulkeva suora on suora, jonka p\u00e4\u00e4t l\u00e4hestyv\u00e4t kulman molempia kylki\u00e4 asymptoottisesti. Jokaiselle kulmalle t\u00e4llainen suora on olemassa ja se on yksik\u00e4sitteinen, mutta olemassaolotodistus on monimutkainen. Todistuksessa konstruoidaan\nkulman sulkeva suora, joka on kahden tietyll \u00e4 tavalla valitun yhdensuuntaisen suoran yhteinen normaali. Ensin t\u00e4ytyy kuitenkin osoittaa, ett\u00e4 n\u00e4m\u00e4 suorat ovat yhdensuuntaiset ja ett\u00e4 ne eiv\u00e4t l\u00e4hesty toisiaan asymptoottisesti, mik\u00e4 tekee todistuksesta monimutkaisen. Lis\u00e4ksi todistetaan yhtenevyyslause kaksinkertaisille asymptoottisille kolmioille: yhteneville kulmille kulman k\u00e4rkipiste on yht\u00e4 et\u00e4\u00e4ll\u00e4 kulman sulkevasta suorasta.\n\nOn my\u00f6s mahdollista, ett\u00e4 kolme suoraa l\u00e4hestyy toisiaan asymptoottisesti pareittain\nsiten, ett\u00e4 muodostuu kolmio, jolla on kolme \u00e4\u00e4rett \u00f6myyspistett \u00e4 eik\u00e4 yht\u00e4\u00e4n varsinaista kulmaa. T\u00e4llaisia kolmiota sanotaan kolminkertaisiksi asymptoottisiksi kolmioiksi, ja niiden olemassaolo seuraa suoraan kulman sulkevan suoran olemassaolosta. My\u00f6s t\u00e4llaisille kolmioille todistetaan yhtenevyyslause, jonka mukaan kaikki kolminkertaiset asymptoottiset kolmiot ovat yhtenevi\u00e4 kesken\u00e4\u00e4n. T\u00e4t\u00e4 todistusta varten m\u00e4\u00e4ritell\u00e4\u00e4n my\u00f6s \u00e4\u00e4ret t\u00f6myyspisteess\u00e4 oleva yleistetty kulma ja sen puolittaja. Yleistetty kulmanpuolittaja on olemassa jokaiselle yleistetylle kulmalle ja se on yksik\u00e4sitteinen.", "language": "fi", "element": "description", "qualifier": "abstract", "schema": "dc"}, {"key": "dc.description.provenance", "value": "Submitted using Plone Publishing form by Elisa Roivainen (elanroiv) on 2016-05-24 11:00:57.433996. Form: Pro gradu -lomake (https://kirjasto.jyu.fi/julkaisut/julkaisulomakkeet/pro-gradu-lomake). JyX data: [jyx_publishing-allowed (fi) =True]", "language": "en", "element": "description", "qualifier": "provenance", "schema": "dc"}, {"key": "dc.description.provenance", "value": "Submitted by jyx lomake-julkaisija (jyx-julkaisija.group@korppi.jyu.fi) on 2016-05-24T11:00:58Z\nNo. of bitstreams: 2\nURN:NBN:fi:jyu-201605242677.pdf: 2618797 bytes, checksum: 3af4924c8a2f87ef71e6a852289f9cb1 (MD5)\nlicense.html: 4810 bytes, checksum: e3c71c1099a9069961cc3f720dd7d2f2 (MD5)", "language": "en", "element": "description", "qualifier": "provenance", "schema": "dc"}, {"key": "dc.description.provenance", "value": "Made available in DSpace on 2016-05-24T11:00:58Z (GMT). No. of bitstreams: 2\nURN:NBN:fi:jyu-201605242677.pdf: 2618797 bytes, checksum: 3af4924c8a2f87ef71e6a852289f9cb1 (MD5)\nlicense.html: 4810 bytes, checksum: e3c71c1099a9069961cc3f720dd7d2f2 (MD5)\n Previous issue date: 2016", "language": "en", "element": "description", "qualifier": "provenance", "schema": "dc"}, {"key": "dc.format.extent", "value": "1 verkkoaineisto (65 sivua)", "language": null, "element": "format", "qualifier": "extent", "schema": "dc"}, {"key": "dc.format.mimetype", "value": "application/pdf", "language": null, "element": "format", "qualifier": "mimetype", "schema": "dc"}, {"key": "dc.language.iso", "value": "fin", "language": null, "element": "language", "qualifier": "iso", "schema": "dc"}, {"key": "dc.rights", "value": "In Copyright", "language": "en", "element": "rights", "qualifier": null, "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.other", "value": "hyperbolinen geometria", "language": null, "element": "subject", "qualifier": "other", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.other", "value": "asymptoottiset kolmiot", "language": null, "element": "subject", "qualifier": "other", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.other", "value": "asymptoottisesti yhdensuuntainen", "language": null, "element": "subject", "qualifier": "other", "schema": "dc"}, {"key": "dc.title", "value": "Asymptoottiset kolmiot hyperbolisessa geometriassa", "language": null, "element": "title", "qualifier": null, "schema": "dc"}, {"key": "dc.type", "value": "master thesis", "language": null, "element": "type", "qualifier": null, "schema": "dc"}, {"key": "dc.identifier.urn", "value": "URN:NBN:fi:jyu-201605242677", "language": null, "element": "identifier", "qualifier": "urn", "schema": "dc"}, {"key": "dc.type.ontasot", "value": "Pro gradu -tutkielma", "language": "fi", "element": "type", "qualifier": "ontasot", "schema": "dc"}, {"key": "dc.type.ontasot", "value": "Master\u2019s thesis", "language": "en", "element": "type", "qualifier": "ontasot", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.faculty", "value": "Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta", "language": "fi", "element": "contributor", "qualifier": "faculty", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.faculty", "value": "Faculty of Sciences", "language": "en", "element": "contributor", "qualifier": "faculty", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.department", "value": "Matematiikan ja tilastotieteen laitos", "language": "fi", "element": "contributor", "qualifier": "department", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.department", "value": "Department of Mathematics and Statistics", "language": "en", "element": "contributor", "qualifier": "department", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.organization", "value": "University of Jyv\u00e4skyl\u00e4", "language": "en", "element": "contributor", "qualifier": "organization", "schema": "dc"}, {"key": "dc.contributor.organization", "value": "Jyv\u00e4skyl\u00e4n yliopisto", "language": "fi", "element": "contributor", "qualifier": "organization", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.discipline", "value": "Matematiikka", "language": "fi", "element": "subject", "qualifier": "discipline", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.discipline", "value": "Mathematics", "language": "en", "element": "subject", "qualifier": "discipline", "schema": "dc"}, {"key": "dc.date.updated", "value": "2016-05-24T11:00:59Z", "language": null, "element": "date", "qualifier": "updated", "schema": "dc"}, {"key": "yvv.contractresearch.funding", "value": "0", "language": null, "element": "contractresearch", "qualifier": "funding", "schema": "yvv"}, {"key": "dc.type.coar", "value": "http://purl.org/coar/resource_type/c_bdcc", "language": null, "element": "type", "qualifier": "coar", "schema": "dc"}, {"key": "dc.rights.accesslevel", "value": "openAccess", "language": "fi", "element": "rights", "qualifier": "accesslevel", "schema": "dc"}, {"key": "dc.type.publication", "value": "masterThesis", "language": null, "element": "type", "qualifier": "publication", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.oppiainekoodi", "value": "4041", "language": null, "element": "subject", "qualifier": "oppiainekoodi", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.yso", "value": "geometria", "language": null, "element": "subject", "qualifier": "yso", "schema": "dc"}, {"key": "dc.subject.yso", "value": "asymptootti", "language": null, "element": "subject", "qualifier": "yso", "schema": "dc"}, {"key": "dc.format.content", "value": "fulltext", "language": null, "element": "format", "qualifier": "content", "schema": "dc"}, {"key": "dc.rights.url", "value": "https://rightsstatements.org/page/InC/1.0/", "language": null, "element": "rights", "qualifier": "url", "schema": "dc"}, {"key": "dc.type.okm", "value": "G2", "language": null, "element": "type", "qualifier": "okm", "schema": "dc"}]
|