| Summary: | Tutkielmassa tarkastellaan ensin Riemannin integraalia ja sen ongelmia rajankäyntitilanteissa. Suurin ongelma rajankäynnissä on, että Riemannintegraalien
jonon raja-arvo ei välttämättä aina ole sama kuin rajafunktion
Riemann-integraali. Lisäksi todetaan, että Riemann-integroituvien funktioiden
joukko on melko pieni. Seuraavana esitellään porrasfunktioiden integraali
ominaisuuksineen. Tämän jälkeen perehdytään Riemann-integroituvien
funktioiden luokkaa suurempaan yläfunktioiden luokkaan L+ ja lisäksi osoitetaan,
että Riemann-integroituvat funktiot kuuluvat yläfunktioiden luokkaan.
Yläfunktioiden luokan esittelyn jälkeen määritellään Lebesguen integraali
ja perehdytään sen ominaisuuksiin. Lebesguen integraali määritellään
Rieszin määritelmän mukaan, sillä se on tiivistetympi, suoraviivaisempi
ja johtaa nopeammin asian ytimeen kuin Lebesguen alkuperäinen määritelmä.
Lisäksi laajennetaan yläfunktioiden luokka Lebesgue-integroituvien
funktioiden luokkaan L ja osoitetaan tämän olevan selvästi suurempi kuin
yläfunktioiden luokka.
Viimeisessä kappaleessa perehdytään Lebesguen integraalin rajankäyntiin
monotonisen konvergenssin lauseen ja dominoidun konvergenssin
lauseen avulla. Dominoidun konvergenssin lause on yksi Lebesguen integraalin
tärkeimmistä tuloksista. Tiivistetysti konvergenssilauseiden sanoma on,
että integroinnin ja rajankäynnin järjestystä voidaan vaihtaa.
|
|---|