Affine decomposition of isometries in nilpotent Lie groups - Kivioja, Ville (2015)
Tässä työssä esitetään uusi tulos koskien isometrioiden säännöllisyyttä nilpotenttien yhtenäisten metristen Lien ryhmien välillä. Termillä metrinen Lien ryhmä tarkoitamme Lien ryhmää, joka on varustettu etäisyysfunktiolla siten, että ryhmän (vasen) siirtokuvaus on isometria, ja etäisyysfunktio indusoi topologian, joka Lien ryhmällä on monistona alun perin olemassa. Todistamme, että isometriat tässä tilanteessa ovat välttämättä affiinikuvauksia: jokainen isometria voidaan esittää yhdistettynä kuvauksena siirrosta ja isomorfismista. Tämän seurauksena kaksi isometrista ryhmää ovat välttämättä isomorfiset. Klassisesti isometrioiden lineaariaffiinisuus on tunnettu Euklidisessa avaruudessa, mutta myöhemmin vastaava yleistetty tulos on todistettu reaalisissa normiavaruuksissa (Mazur–Ulam lause) ja nilpotenteissa yhtenäisissä Riemannilaisissa Lien ryhmissä (E.N. Wilson). Viime vuosina tulos on onnistuttu todistamaan myös subRiemannilaisissa ja subFinsleriläisissä Carnot’n ryhmissä. Metrinen Lien ryhmä on näitä kaikkia yleisempi avaruus, lukuun ottamatta ääretönulotteisia normiavaruuksia. Todistus perustuu Montgomery–Zippinin lokaalisti kompaktien ryhmien teoriasta johdettaviin isometrioiden säännöllisyysominaisuuksiin sekä mainitun Wilsonin tuloksen käyttöön. Toteamme lopuksi, että niin yhtenäisyys kuin nilpotenttiuskin ovat välttämättömiä oletuksia siinä mielessä, että voimme esittää vastaesimerkit kummasta tahansa näistä oletuksista luovuttaessa.