| Summary: | Tässä tutkielmassa perehdytään ympyrädynamiikkaan, jota tutkitaan kiertojen
avulla. Kiertojen analysointiin käytetään pisteiden ratoja ja jaksollisia pisteitä. Tutkielmassa
tutustutaan myös nostoihin ja kiertolukuihin. Homeomorfismien käyttäytymistä
tutkitaan kiertoluvun avulla. Jos kiertoluku on rationaalinen, radan käytäytyminen
on jaksollista. Jos taas kiertoluku on irrationaalinen, niin pisteen rata on
tiheä tai Cantorin joukko.
Tutkielmassa todistetaan Poincar`en luokittelulause, joka kuvailee ympyrähomeomorfismien
ratojen käyttäytymistä. Poincar´en luokittelulauseen mukaan homeomor-
fismi f, jonka kiertoluku ρ on irrationaalinen, on topologinen konjugaatti kierron Rρ
kanssa, jos homeomorfismi on transitiivinen. Jos homeomorfismi ei ole transitiivinen,
niin kierto ja homeomorfismi ovat topologisia tekijöitä. Toisessa luvussa tutustutaan
Denjoyn esimerkkiin ja lauseeseen. Denjoyn lause liittyy diffeomorfismeihin. Sen mukaan
diffeomorfismi on transitiivinen, jos sen kiertoluku on irrationaalinen ja derivaatta
on rajoitetusti heilahteleva. Denjoyn esimerkissäa näytetään, kuinka modostetaan
ilman jaksollisia pisteitä ympyrädiffeomorfismi, joka ei ole transitiivinen. Kolmannessa
luvussa tutustutaan Cantorin joukkoon, pirunporrasfunktioon ja Arnoldin kieliin
ympyräadiffeomorfismiperheiden kautta.
|
|---|