Skaalainvarianssi kvanttimekaniikassa - Koskivaara, Olli (2013)
Tässä tutkielmassa tarkastellaan klassisesti skaalainvarianttia systeemiä kvanttimekaniikan keinoin. Lähtökohdaksi otetaan klassinen mekaniikka, ja tarkastelemalla vaikutusintegraalia todetaan, että ainoa systeemin skaalainvarianssin takaava potentiaali on muotoa D/r^2, missä D on vakio. Tämän jälkeen siirrytään ratkaisemaan Schrödingerin yhtälöä kyseiselle potentiaalille. Ensiksi huomataan, että dimensioanalyysin perusteella sidottuja tiloja esittäviä ratkaisuja ei voi olla. Lisäksi havaitaan negatiivisia energioita vastaavien tilojen olevan ongelmallisia. Nämä ongelmat asetetaan kuitenkin sivuun, ja ratkaistaan ominaisarvo-ongelma suoraviivaisesti. Tuloksena saadaan negatiivisille energioille matemaattisesti hyvin määritellyt ratkaisut. Ongelmaksi muodostuvat kuitenkin ratkaisujen raju oskillointi origon läheisyydessä sekä negatiiviseen äärettömyyteen jatkuvat energiat. Katkaisemalla potentiaali etäisyydelle epsilon origosta ja ratkaisemalla ominaisarvo-ongelma uudestaan saadaan alhaalta rajoitettu diskreetti energiaspektri, joka vastaa odotuksia fysikaalisesta tilanteesta. Seuraavaksi ongelmana on rajan epsilon -> 0 ottaminen siten, että tilanteen fysikaalinen mielekkyys säilyy. Ratkaisu saadaan vaatimalla, että perustilan energia E_1 pysyy rajaprosessissa vakiona. Muut energiatilat häviävät rajankäynnissä, ja potentiaalin voimakkuutta kuvaavan parametrin arvo määräytyy. Tutkielman viimeisessä osiossa keskustellaan klassisen ja kvanttimekaanisen analyysin välisestä erosta. Skaalainvariantissa systeemissä ei voi esiintyä energiaskaalaa, kuten dimensioanalyysikin jo ennakoi. Pitkän analyysin seurauksena saatiin kuitenkin ratkaisu, jolla on hyvin määritelty perustila. Näennäisen ristiriidan todetaan olevan seurausta anomaalisesta symmetriarikosta, joka tapahtuu siirryttäessä klassisesta teoriasta kvanttiteoriaan. Tässä työssä tarkasteltu 1/r^2 -potentiaali on esimerkki tapauksesta, jossa systeemillä klassisesti ollut symmetria, tässä tapauksessa skaalainvarianssi, rikkoutuu siirryttäessä kvanttiteoriaan. Lopuksi esitellään lyhyesti muita symmetriarikkoja sekä joitakin niihin liittyviä ilmiöitä.