Harmoniset funktiot kompleksialueessa ja konformikuvaukset - Karttunen, Hanna-Kaisa (2014)
Tämän tutkielman tarkoituksena on syventää tietoja kompleksianalyysistä tutustumalla harmonisiin funktioihin ja konformikuvauksiin. Funktioita, jotka toteuttavat Laplacen yhtälön, kutsutaan harmonisiksi funktioiksi. Harmonisten funktioiden määrittämiseen voidaan käyttää Cauchy-Riemannin yhtälöitä. Harmoniset funktioit ovat yhteydessä analyyttisiin funktioihin, sillä harmonisten funktioiden avulla voidaan selittää analyyttisten kuvausten teoriaa ja päinvastoin. Tämän tutkielman kannalta tärkeimpiä analyyttisiä kuvauksia ovat injektiiviset kuvaukset, jotka tunnetaan myös konformikuvauksina. Konformikuvaukset ovat alueiden välisiä kuvauksia, jotka säilyttävät kulmien suuruuden ja suunnan ja joiden derivaatta on äärellinen ja nollasta eroava. Harmonisten funktioiden ja konformikuvausten välillä on monia tärkeitä yhteyksiä. Esimerkiksi, jos harmoniselle funktiolle tehdään konforminen muuttujanvaihto, niin myös tuloksena saatu funktio on harmoninen.