| Summary: | <p>Ryhmät ovat yksinkertaisina mutta elegantteina algebrallisina rakenteina jo pitkään olleet keskeinen
osa niin puhdasta kuin sovellettuakin matematiikkaa. Erityisesti ryhmät soveltuvat erilaisten
<i>symmetrioiden</i> esittämiseen. Ryhmien esitysteoriassa voidaan ryhmien rakennetta koskevia ongelmia
palauttaa <i>lineaarialgebran</i> ongelmiksi, jotka ovat hyvin ratkaistavissa. Tämä tapahtuu
kuvaamalla ryhmä <i>homomorfisesti</i> lineaarikuvausten ryhmään. Osoittautuu myös mielenkiintoiseksi
tutkia jo itsessään lineaarikuvauksista muodostuvien ryhmien epätriviaaleja lineaarisia
esityksiä.</p><p>
Erityisen tarkastelun kohteena tutkielmassa on <i>klassinen matriisiryhmä</i> SO(3), joka siis koostuu
avaruuden ℝ<sup>3</sup> rotaatiokuvauksista. Ryhmä SO(3) muiden klassisten matriisiryhmien tapaan
on erityisesti ns. <i>Lien ryhmä</i>, ts. <i>sileä monisto</i> siten, että ryhmän operaatio ja käänteisalkion
muodostaminen ovat vastaavassa mielessä <i>sileitä kuvauksia</i> (Sophus Lie, 1842-1899). Monistoja
puolestaan voidaan luonnehtia käyrien ja pintojen yleistyksiksi. Tarkemmin ilmaistuna monisto
on <i>topologinen avaruus</i>, joka on <i>lokaalisti euklidinen</i>, ts. jokaisella pisteellä on ympäristö, joka
on <i>homeomorfinen</i> jonkin euklidisen avaruuden ℝ<sup>n</sup> avoimen joukon ts. <i>kartan</i> kanssa. Monisto
on <i>sileä</i>, jos siirtymät karttojen välillä ovat avaruuden ℝ<sup>n</sup> sileitä kuvauksia.
</p><p>
Lien ryhmät ovat merkillisiä monistoja siinäkin mielessä, että niiden geometria on pitkälti kuvattavissa
algebrallisesti ns. <i>Lien algebran</i> avulla. Osoittautuu, että tämä Lien ryhmää <i>vastaava</i>
Lien algebra saadaan aina moniston <i>tangenttiavaruudesta</i> neutraalialkiolle. Riittävän siistissä
tapauksessa koko ryhmän geometria määräytyy pelkästään sitä vastaavasta Lien algebrasta.
Kuitenkin aina <i>neutraalialkion sisältävä yhtenäinen komponentti</i> määräytyy Lien ryhmää vastaavasta
Lien algebrasta.
</p><p>
Lien ryhmien esitysteoria eroaa hieman <i>äärellisten</i> ryhmien esitysteoriasta, sillä ryhmän rakenteen
säilymisen homomorfismissa lisäksi vaaditaan moniston <i>sileän struktuurin</i> säilymistä.
Lisäksi useat Lien ryhmät, kuten SO(3), ovat <i>kompakteja</i>. Tämä tarkoittaa puolestaan sitä,
että käyttöön saadaan myös <i>kompaktien topologisten ryhmien</i> esitysteorian tulokset, kuten <i>unitaaristen</i>
esitysten olemassaolo ja <i>Peterin ja Weylin lause</i> (Hermann Weyl, 1885-1955 sekä
hänen oppilaansa Fritz Peter, 1899-1949). Nämä perustuvat pohjimmiltaan ns. <i>Haarin mitan</i>
(Alfréd Haar, 1885-1933) olemassaoloon kaikilla <i>lokaalisti kompakteilla topologisilla ryhmillä</i>,
joita kompaktit ryhmät tietysti ovat.
</p><p>
Tutkielman päätuloksena esitetään ryhmän SO(3) redusoitumattomien esitysten konstruktio,
sekä todistus sille, että kaikki muut redusoitumattomat esitykset ovat ekvivalentteja tälle konstruktiolle.
Konstruktiossa päädytään ns. <i>palloharmonisiin</i> funktioihin.</p>
|
|---|