| Summary: | Tässä tutkielmassa tutkitaan optiohinnoittelua hypyt mukaan ottaen. Tutkielmassa käytetään kehystä joka on esitetty artikkelissa 'Hedging with Options in Models with Jumps' jonka on kirjoittanut Rama Cont, Peter Tankov ja Ekaterina Voltchkova, tämä kehys antaa matemaattisen esityksen option hinnalle hyppyjen läsnä ollessa. Esitys joka saadaan sisältää alkupääoman, integraalin Brownin liikkeen suhteen ja integraalin kompensoidun Poisson satunnaismitan suhteen. Integraali kompensoidun Poisson satunnaismitan suhteen on osa joka sisältää epäjatkuvuudet (hypyt). Näin pystytään saamaan option hinnalle kyseinen esitys käyttämällä Itôn kaavaa funktioon joka koostuu hyödykkeen hinnasta.
Fokuksena on näyttää kuinka pystytään muodostamaan esitys optiohinnoittelulle kun hyppyjä on mukana, ja kuinka ratkaisu suojauksen varianssin minimoinnille saadaan. Nämä käsitteet on esitelty edellä mainitulla paperilla, jonka kehystä seurataan tiiviisti.
Tutkielma alkaa palauttamalla lyhyesti mieleen käsitteitä todennäköisyysteoriasta ja antamalla määritelmiä liittyen Hilbert avaruuksiin. Seuraavaksi käsitellään teoriaa koskien stokastisia prosesseja, satunnaismittoja ja stokastisia integraaleja. Tutkielmassa esitetään käsitteitä jotka liittyvät rahoitukseen, pääasiassa tapauksiin joissa jatkuvat prosessit ovat oletuksena, sillä kirjallisuus ei ole vielä täysin vakiintunut rahoituskäsitteille joihin liittyy hyppyjä. Päätyökalut jotka saadaan edellisistä matemaattisista käsitteistä ovat eritoten ehdollisiin odotusarvoihin liittyvät ominaisuudet, ominaisuudet liittyen martingaaleihin, Itôn isometria ja Itôn kaava, joita käytetään perinpohjaisesti läpi koko tämän tutkielman.
Tässä tutkielmassa on kaksi jo aiemmin mainittua päätavoitetta. Ensin näytetään kuinka d-ulotteista Itôn kaavaa käyttäen pystytään muodostamaan esitys option hinnalle tietyillä ehdoilla. Tämä Itôn kaava sisältää kaksi osaa, jatkuvan osan ja epäjatkuvan osan jotka vastaavat esitystä option hinnasta kun hypyt ovat mukana. Sen jälkeen kun Itôn kaavaa on käytetty funktioon joka koostuu hyödykkeiden hinnoista, huomataan että tulos joka saadaan muistuttaa osittain ratkaisua jota etsittiin, mutta tuloksessa on ylimääräisiä osia. Käyttämällä ominaisuuksia liittyen martingaaleihin pystytään näyttämään että ylimääräiset osat ovat nolla ja saadaan esitys option hinnalle. Toisessa tavoitteessa näytetään miten suojauksen varianssin minimoinnin ratkaisu pystytään saamaan. Ratkaisu suojauksen varianssin minimoinnille on pari, eli alkupääoma ja suojausstrategia, niin että suojauksen virhe mitattuna keskineliössä on minimaalinen. Asetelmassa oletetaan martingaalimitta annettuna. Tällöin löytyy yksikäsitteinen ratkaisu. Jotta pystytään ratkaisemaan suojauksen minimoinnin ratkaisu, käytetään ominaisuuksia liittyen martingaaleihin, Brownin liikkeen ominaisuuksia, Itôn isometriaa ja Itôn kaavaa. Lopulta saadaan strategia ja alkupääoma mitkä minimoivat suojauksen virheen riittävästi tavalliselle eurooppalaiselle optiolle. Tutkielmassa myös osoitetaan kuinka on mahdollista käyttää kyseisiä metodeja muihin asetelmiin kuten aasialaisiin optioihin ja kuinka stokastisen differentiaaliyhtälön kaava poikkeaa barrier optiosta.
In this thesis we study option pricing with jumps. We use the framework proposed in 'Hedging with Options in Models with Jumps' by Rama Cont, Peter Tankov and Ekaterina Voltchkova which gives a representation for the option price in the presence of jumps. The representation we get includes the initial capital, an integral with respect to the Brownian motion and an integral with respect to the compensated Poisson random measure. The integral with respect to the compensated Poisson random measure is the one that includes discontinuities (jumps). We can obtain the representation for the option price by applying Itô's formula on the function of the asset price.
Our focus is in showing how the representation for option pricing with jumps is formed, and how the solution for minimal variance hedging is obtained. These concepts are introduced in the paper introduced above, and we will be following the introduced framework closely.
The thesis starts with briefly recalling the basic concepts related to probablility theory, and gives definitions related to Hilbert spaces. We continue with the theory of stochastic processes, random measures and stochastic integrals. We introduce concepts related to finance, mainly in the continuous process case setting since the literature is not well established for financial concepts related to jumps. The main tools we obtain from the previous mathematical concepts are especially properties of conditional expectation, properties related to martingales, Itô's isometry and Itô's formula which we will use throughout this thesis.
There are two main objectives in this thesis as noted earlier. First we will show by using a d-dimensional Itô formula how a representation for the option price can be obtained under certain conditions. This Itô formula consists of two parts, a continuous and discontinuous part which corresponds to the representation for the option price when jumps are included. After applying Itô's formula on the formula of asset prices we notice that the result which we get is partly corresponding to the solution which we are looking for, but there seem to be additional terms. By using properties related to martingales we are able to show that the additional terms are zero and get a representation for the option price.
In our second objective we will show how the minimal variance hedging solution can be obtained. A solution to the minimal variance hedging would be a pair consisting of the initial capital and a hedging strategy such that the hedging error measured in mean square is minimal. In our setting we assume that the martingale measure is given. Then the solution is unique. In order to solve the minimal variance hedging problem we use properties related to martingales, properties of the Brownian motion, Itô's isometry, and Itô's formula. Finally we get a strategy and initial capital which minimizes the hedging error for sufficient regular European options. We will also indicate how one can apply such methods to other settings such as hedging Asian options and how the stochastic differential equation formula differs for barrier options.
|
|---|