Hopf–Rinow–Cohn-Vossen lause - Halttunen, Miika (2025)
Tässä pro gradu -tutkielmassa käsitellään pituusavaruuksia. Topologiseen avaruuteen X voidaan ensin määritellä kuvaus L, jota kutsutaan pituusstruktuuriksi. Sen avulla voidaan määritellä pituusmetriikka d_L. Se määritellään infimumina kaksi pistettä x, y ∈ X yhdistävien polkujen pituuksista. Metrisellä avaruudella tarkoitetaan puolestaan paria (X, d), jossa X on jokin joukko ja d joukkoon X määritelty kahden pisteen välinen etäisyys. Jos on olemassa pituusstruktuuri L siten, että d = d_L, niin metristä avaruutta (X, d) kutsutaan pituusavaruudeksi. Pituusavaruudessa lyhimmällä polulla tarkoitetaan sellaista polkua, jonka pituus on sama kuin sen päätepisteiden välinen etäisyys. Tutkielmassa tarkastellaan, mitä ehtoja avaruuden X pitää toteuttaa, jotta kahden pisteen välillä olisi olemassa lyhin polku. Päätuloksena tutkielmassa muotoillaan ja todistetaan Hopf–Rinow–Cohn-Vossen lause, joka kertoo, mitkä ehdot pituusavaruuden X pitää toteuttaa, jotta kahden pisteen välillä on olemassa lyhin polku. Tällöin avaruutta X kutsutaan geodeettiseksi avaruudeksi. Hopf–Rinow–Cohn-Vossen lauseen todistuksen jälkeen annetaan kaksi esimerkkiä, jotka osoittavat, että kyseisessä lauseessa esiintyvät oletukset ovat tarpeellisia. Tutkielman viimeisessä luvussa osoitetaan tulos, että jos (X, d) on täydellinen pituusavaruus, johon on määritelty lokaalisti tuplaava mitta, niin (X, d) on geodeettinen avaruus. Ensin tarkastellaan kuitenkin tuplaavia mittoja ja osoitetaan niiden avulla avaruuden X tuplaavuus. Tällöin lokaalisti tuplaavan mitan tapaus on helpommin ymmärrettävissä.