| Yhteenveto: | Tässä pro gradu-tutkielmassa perehdytään lineaarialgebraan ja erityisesti ominaisarvoteoriaan hieman tavanomaisesta poikkeavasta näkökulmasta. Tutkielman tavoitteena on esitellä erilainen lähestymistapa ominaisarvoteorian perusteisiin. Lineaarialgebran kursseilta ja oppikirjoista tuttu tapa todistaa ominaisarvoihin liittyviä tuloksia on käyttää determinanttia. Tässä tutkielmassa tutustutaan vaihtoehtoiseen tapaan, jossa determinantteja ei tarvita.
Tutkielman alussa käsitellään joitakin oleellisia esitietoja ja tämän jälkeen lähdetään rakentamaan teoriaa, jonka avulla voidaan todistaa ominaisarvoihin, ominaisvektoreihin ja yleistettyihin ominaisvektoreihin liittyviä tuloksia. Keskeisenä osana rakennettavaa teoriaa on kompleksisten polynomien soveltaminen lineaarikuvauksiin.
Tutkielmassa käsitellään myös vektoriavaruuksien suoria summia, jotka ovat keskeisessä osassa viidennen ja kuudennen eli viimeisen luvun teoriassa. Viidennen luvun päätuloksena todistetaan lause, jota käyttäen voidaan tutkia lineaarikuvausten rakennetta yleistettyjen ominaisavaruuksien ja suorien summien avulla. Viimeisessä luvussa sovelletaan viidennen luvun päätulosta ja osoitetaan sen avulla, että jokaiselle lineaarikuvaukselle n-ulotteisesta äärellisestä kompleksisesta vektoriavaruudesta itselleen löytyy kanta, jossa sitä vastaava matriisi on lohkodiagonaalinen matriisi, jonka lohkot ovat yläkolmiomatriiseja. Jokainen lohko vastaa yhtä lineaarikuvauksen ominaisarvoa.
|
|---|