Apollonioksen ympyräpakkaukset - Eskola, Edvin (2025)
Tässä pro gradu -tutkielmassa tutustutaan yleisellä tasolla Apollonioksen ympyräpakkauksiin, niiden olemassaoloon ja konstruointiin. Apollonioksen lauseen nojalla kolmen pareittain toisiaan sivuavan ympyrän kolmikoille on olemassa kaksi sellaista ympyrää, jotka sivuavat pareittain kaikkia kolmikon ympyröitä. Saaduista viidestä ympyrästä voidaan valita uusi pareittain toisiaan sivuavien ympyröiden kolmikko. Soveltamalla Apollonioksen lausetta uusiin kolmikoihin ja jatkamalla tällaista konstruktiota, saadaan Apollonioksen ympyräpakkaus, jossa on äärettömän monta ympyrää. Tutkielman aluksi todistetaan Apollonioksen lause hyödyntämällä ympyröiden kuvautumista inversiossa. Ennen lauseen todistamista perehdytään inversion geometrisiin ominaisuuksiin ja aiheeseen liittyviin tuloksiin. Tämän jälkeen jatketaan pareittain toisiaan sivuavien ympyröiden tutkimista määrittelemällä Descartesin lause sekä lauseen laajennettu versio, kompleksinen Descartesin lause. Descartesin lauseen mukaan neljän pareittain toisiaan sivuavan ympyrän kaarevuudet k toteuttavat toisen asteen yhtälön 2(k_1^2+k_2^2+k_3^2+k_4^2)=(k_1+k_2+k_3+k_4)^2. Siten jos kolmen pareittain toisiaan sivuavan ympyrän säteet tunnetaan, voidaan Apollonioksen lauseesta saatavien kahden uuden ympyrän säteet selvittää Descartesin lauseen avulla. Kompleksinen Descartesin lause on Descartesin lausetta laajempi tulos, jossa toisen asteen yhtälöön liitetään myös ympyröiden keskipisteet merkitsemällä keskipisteitä kompleksilukujen avulla. Kompleksisen Descartesin lauseen avulla voidaan selvittää myös Apollonioksen lauseesta saatavien ympyröiden keskipisteet. Tutkielman viimeisessä osassa tutkitaan ympyräpakkausten konstruointia Geogebra-ohjelmalla. Ympyräpakkaus konstruoidaan kolmen annetun pisteen suhteen hyödyntämällä tutkielmassa esitettyjä tuloksia.