Käänteiskuvauslause ja käänteisfunktio lukiomatematiikassa - Piironen, Aleksi (2025)
Tässä pro gradu -tutkielmassa tutkitaan käänteiskuvauslausetta ja käänteisfunktiota. Käänteiskuvauslause antaa ehdot käänteiskuvauksen ja sen derivaatan olemassaololle. Lukion pitkässä matematiikassa käsiteltävä käänteisfunktio on käänteiskuvauksen yksiuloitteinen tapaus. Käänteiskuvauslauseen mukaan avoimessa joukossa $A \subset \mathbb{R}^n$ määritellyllä jatkuvasti derivoituvalla kuvauksella $f:A → \mathbb{R}^n$ on käänteiskuvaus pisteen $x_0 \in A$ lähiympäristössä, jos derivaattakuvaus $f'(x_0)$ on kääntyvä. Lisäksi lauseesta saadaan kyseisen käänteiskuvaksen derivoituvuus pisteessä $f(x_0)$ sekä kaava käänteiskuvauksen derivaatalle pisteessä $f(x_0)$. Työn alussa esitellään tarvittavat esitiedot, joista suurin osa liittyy vektorianalyysiin. Esitietojen jälkeen käänteiskuvauslause todistetaan kahdesta eri lähestymiskulmasta. Ensimmäisessä lähestymiskulmassa todistus pohjautuu implisiittifunktiolauseeseen, jonka todistusta alustetaan Cousinin lemmalla sekä moniuloitteisella differentiaalilaskennan väliarvolauseella. Toisessa lähestymiskulmassa todistuksessa ei käytetä implisiittifunktiolausetta, vaan sen todistus pohjautuu kiintopistelauseeseen. Työn lopussa tutkitaan, miten ja millä kursseilla käänteisfunktiota on käsitelty lukion pitkässä matematiikassa 2000-luvun aikana. Tutkintaan käytetään 2000-luvun lukion opetussuunnitelmia ja niihin perustuvia kirjasarjoja. Kirjasarjojen perusteella huomataan, että käänteisfunktion käsittely lukiomatematiikassa on pysynyt koko 2000-luvun lähes identtisenä. Ainoa suurempi muutos tapahtui vuoden 2015 lukion opetussuunnitelmassa, kun käänteisfunktio siirrettiin pakollisilta kursseilta valinnaisille kursseille.