Second-order Sobolev regularity for a class of generalized nonlinear p-parabolic equations - Yawen, Feng (2025)
Tässä väitöskirjassa tutkitaan säännöllisyysteoriaa parabolisille osittaisdifferentiaaliyhtälöille. Erityisesti tarkastellaan viskositeettiratkaisujen säännöllisyysominaisuuksia yleistetylle p-paraboliselle yhtälölle. Sekä tavallinen p-parabolinen yhtälö että normalisoitu p-parabolinen yhtälö ovat yleistetyn yhtälön erikoistapauksia. Tarkemmin sanottuna työssä tutkitaan yleistetyn p-parabolisen yhtälön ratkaisujentoisen kertaluvun säännöllisyyttä. Väitöskirja koostuu johdannosta ja kolmesta tutkimusartikkelista. Artikkelit on julkaistu lehdissä Journal of Evolution Equations, Calculus of Variations and Partial Differential Equations sekä Journal of Functional Analysis. Ensimmäisessä artikkelissa tutkitaan p-parabolisten funktioiden, jotka ovat p-parabolisen yhtälön heikkoja ratkaisuja, lokaalia toisen kertaluvun Sobolevin säännöllisyyttä. Vastaesimerkki osoittaa, että artikkelissa käytetty parametrien alue on tarkka. Toisessa artikkelissa laajennetaan tarkastelua p-parabolisesta yhtälöstä yleisempään tapaukseen. Erityisesti artikkelissa todistetaan yleistetyn p-parabolisen yhtälön viskositeettiratkaisujen lokaalitoisen kertaluvun säännöllisyys tasossa tietyille sallituille parametreille. Lisäksi työssä kehitetään systemaattinen menetelmä, jossa kysymys toisen kertaluvun säännöllisyydestä palautuu tietyn kerroinmatriisin positiivisuuden todistamiseen. Viimeisessä artikkelissa parannetaan parametrien alueita sekä tutkitaan erään epälineaarisen suureen lokaalia säännöllisyyttä tasossa yleistetylle p-paraboliselle yhtälölle. Tämä epälineaarinen suure on sama kuin ensimmäisessä artikkelissa p-parabolisille funktioille tarkasteltu suure. Todistusten keskeinen idea perustuu divergenssirakenteiden löytämiseen ja hyödyntämiseen sekä erääseen epäyhtälöön. Tietyt toisen kertaluvun termit, jotka aluksi eivät näytä olevan divergenssimuodossa, voidaan itse asiassa kirjoittaa divergenssimuotoon.