| Yhteenveto: | Tässä väitöskirjassa tutkitaan säännöllisyysteoriaa parabolisille osittaisdifferentiaaliyhtälöille. Erityisesti tarkastellaan viskositeettiratkaisujen säännöllisyysominaisuuksia yleistetylle p-paraboliselle yhtälölle. Sekä tavallinen p-parabolinen yhtälö että normalisoitu p-parabolinen yhtälö ovat yleistetyn yhtälön erikoistapauksia. Tarkemmin sanottuna työssä tutkitaan yleistetyn p-parabolisen yhtälön ratkaisujentoisen kertaluvun säännöllisyyttä. Väitöskirja koostuu johdannosta ja kolmesta tutkimusartikkelista. Artikkelit on julkaistu lehdissä Journal of Evolution Equations, Calculus of Variations and Partial Differential Equations sekä Journal of Functional Analysis. Ensimmäisessä artikkelissa tutkitaan p-parabolisten funktioiden, jotka ovat p-parabolisen yhtälön heikkoja ratkaisuja, lokaalia toisen kertaluvun Sobolevin säännöllisyyttä. Vastaesimerkki osoittaa, että artikkelissa käytetty parametrien alue on tarkka. Toisessa artikkelissa laajennetaan tarkastelua p-parabolisesta yhtälöstä yleisempään tapaukseen. Erityisesti artikkelissa todistetaan yleistetyn p-parabolisen yhtälön viskositeettiratkaisujen lokaalitoisen kertaluvun säännöllisyys tasossa tietyille sallituille parametreille. Lisäksi työssä kehitetään systemaattinen menetelmä, jossa kysymys toisen kertaluvun säännöllisyydestä palautuu tietyn kerroinmatriisin positiivisuuden todistamiseen. Viimeisessä artikkelissa parannetaan parametrien alueita sekä tutkitaan erään epälineaarisen suureen lokaalia säännöllisyyttä tasossa yleistetylle p-paraboliselle yhtälölle. Tämä epälineaarinen suure on sama kuin ensimmäisessä artikkelissa p-parabolisille funktioille tarkasteltu suure. Todistusten keskeinen idea perustuu divergenssirakenteiden löytämiseen ja hyödyntämiseen sekä erääseen epäyhtälöön. Tietyt toisen kertaluvun termit, jotka aluksi eivät näytä olevan divergenssimuodossa, voidaan itse asiassa kirjoittaa divergenssimuotoon.
This dissertation studies regularity theory for solutions to parabolic partial differential equations. We investigate regularity properties of viscosity solutions to the generalized p-parabolicequation. Both the standard p-parabolic equation and the normalized p-parabolic equation are special cases of this equation. We analyze the second-order regularity of solutions to the generalized p-parabolic equation. This work comprises a general introduction and three research papers. The papers are published in Journal of Evolution Equations, Calculus of Variations and Partial Differential Equations, and Journal of Functional Analysis. In the first article, we study the local second-order Sobolev regularity of p-parabolic functions, which are weak solutions to the p-parabolic equation. A counterexample shows that the obtained range is sharp. In the second article, we extend the study from the p-parabolic equation to the more general case. We prove the local second-order regularity for planar viscosity solutions to the generalized p-parabolic equation in certain ranges. We also establish a systematic approach where the question about the second-order regularity boils down to verifying that a certain coefficient matrix is positive definite. In the last article, we improve these ranges. We also prove the local regularity of the nonlinear quantity for the generalized p-parabolic equation in the plane. This nonlinear quantity is the same as the one considered for p-parabolic functions in the first article. A key idea involves the use of hidden divergence structures and a fundamental inequality. Some second-order terms that first appear in non-divergence form can actually be rewritten in divergence form.
|
|---|