Ryhmien toiminnat ja kuution väritysongelma - Hautala, Sessi (2025)
Tämän tutkielman tarkoituksena on tarkastella ryhmäteorian käsitteitä ja soveltaa niitä kuution väritysongelman ratkaisemiseksi. Ryhmäteoriassa tarkastellaan symmetrioita sekä kiertoja ja peilauksia. Platonin kappaleista käsitellään erityisesti kuutiota. Lisäksi todistetaan erinäisiä lauseita, jotka kertovat yhdisteen symmetriasta ja kierroista. Tutkielman toinen keskeinen aihe on ryhmien toiminnat ja siihen liittyvät käsitteet rata ja stabilisaattori. Näistä annetaan muutamia esimerkkejä erityisesti kuution tapauksessa. Lisäksi todistetaan, että stabilisaattori on aliryhmä. Tärkeänä lauseena on radan ja stabilisaattorin yhdistävä ratastabilisaattori-lause, joka yhdistää sivuluokat, radan ja stabilisaattorin. Konjugaattiluokkien avulla voidaan ryhmän alkiot ryhmitellä siten, että ne käyttäytyvät samalla tavalla toiminnan suhteen. Konjugaattiluokat mahdollistavat tutkielman toisen tärkeän aiheen, kuution väritysongelmien, laskemisen matemaattisesti. Toinen tutkielman päätulos on kuution väritysongelman tutkiminen ja miten kuution kiertoryhmään vaikuttaa toiminta väritysten joukossa. Tähän tarvitaan ratojen laskusääntöä eli Burnsiden lemmaa. Sen avulla yhdistetään konjugaattiluokat ja kierrot kuution väritysongelmaan. Tavoitteena on selvittää, miten värien määrän ja tahkojen jako vaikuttavat mahdollisiin värityksiin. Tutkielmassa myös vertaillaan, miten värien määrän lisääminen ja tahkon jakaminen osiin vaikuttaa väritysmahdollisuuksien määrään. Tutkielmassa on yhdistetty algebran teoreettista taustaa ja ryhmäteoriaa käytännön sovelluksiin kuution ja geometrian avulla. Tutkielman avulla nähdään, miten ryhmäteoriaa voidaan hyödyntää käytännössä ongelmien mallintamiseen.