Fermat-Torricelli ongelma - Rantakylä, Heini (2025)
Fermat-Torricelli ongelmassa tulee löytää sellainen piste, jossa etäisyydet annetusta pisteestä kolmion kärkiin yhteenlaskettuna tulee olla mahdollisimman pieni. Tämä ongelma on esiintynyt alun perin 1600-luvulla matemaatikko Fermat'n kirjoituksissa. Ajan saatossa ongelmalle on syntynyt erilaisia nimityksiä ja sovelluksia. Tässä lopputyössä Fermat-Torricelli ongelma ratkaistaan ensin tasossa kahdella eri tavalla, joista ensimmäinen ratkaisu mukailee Torricellin konstruktiota ja toinen ratkaisuista niin kutsuttua unkarilaista todistusta. Molemmissa todistuksissa merkittävässä asemassa on alkuperäisen kolmion ympärille piirretty apukolmio. Todistuksissa päädytään ratkaisuun, missä minimointipisteestä nähdään annetun kolmion sivut 120 asteen kulmassa. Tasossa ongelma laajennetaan painotettuun malliin, missä etäisyydet kolmion kärjestä toivottuun minimipisteeseen saavat kaikki omat kertoimensa. Pisteen sijainti todistetaan ensin geometrisesti konstruoiden. Konstruktiossa luodaan apukolmio, jonka sivut riippuvat etäisyyksien kertoimista. Ratkaisuksi saadaan piste, josta nähdään alkuperäisen kolmion sivut sellaisessa kulmassa, joka on riippuvainen apukolmion kulmien suuruudesta. Lisäksi ongelmalle annetaan mekaaninen ratkaisu, jossa etäisyyksien kertoimet ovat kuvattuina pöytätason läpi menevien painojen suuruuksina. Mekaanisessa ratkaisussakin päädytään pisteeseen, joka riippuu etäisyyksien kertoimista. Työn viimeisessä osassa Fermat-Torricelli ongelma ratkaistaan ensin äärellisessä avaruudessa kolmella pisteellä ja lopuksi äärellisellä määrällä pisteitä. Ensimmäisessä tapauksessa pisteen sijainti ratkaistaan konveksi analyysin keinoin hyödyntäen gradienttia. Toisessa tapauksessa pisteen sijainnin määrittelemiseen hyödynnetään Weiszfeldin algoritmia. Algoritmi osoitetaan toimivaksi suppenevien osajonojen avulla.