Matriisilaskennan virheanalyysiä - Kinnunen, Saku (2025)
Tutkielmassa käsitellään matriisilaskentaa ja tarkastellaan laskennassa esiintyviä virheitä. Matriisilaskennassa keskitytään muutamaan matriisihajotelmaan, vektori- ja matriisinormeihin sekä näiden kautta siirrytään matriisilaskennan virheanalyysin pariin. Siispä tutkielmassa tähdätään yhtälönratkaisun virheen analysointiin. Siitä syystä käydään tietyt matriisihajotelmat läpi sekä esitellään matriisinormien perusteoria. Tutkielmassa käsiteltävät asiat rakentuvat toistensa päälle, eli esimerkiksi käytyjä matriisihajotelmia tullaan tarvitsemaan virheanalyysin parissa. Myös vektori- ja matriisinormit täytyy käydä läpi ennen virheanalyysiä. Johdannon jälkeen ensimmäisessä kappaleessa on annettu joitain esi- ja yleistietoja matriiseihin liittyen, mutta tiettyjä asioita pidetään lukijalle selvänä. Ensimmäinen kappale toimii samalla pienimuotoisena johdatteluna matriisilaskentaan. Tutkielmassa käydään läpi hieman matriisilaskennan historiaa ja sen kehitystä. Matriisilaskennan historiasta on otettu pintaraapaisu sekä matriisihajotelmista Cholesky- ja ominaisarvohajotelmaa käsitellään myös hyvin pinnallisesti. LU-hajotelmaan keskitytään puolestaan perusteellisemmin, koska lopussa paneudutaan LU-hajotelman virheisiin. Ennen matriisinormeja on tarpeen käydä läpi vektorinormit, sillä käsittelyssä on mm. vektorinormin indusoimia matriisinormeja. Näin ollen vektorinormeja tarvitaan tietyissä matriisinormeissa. Vektori- ja matriisinormeja käydään myös tutkielmassa perusteellisemmin läpi, sillä ne ovat tärkeitä virheanalyysiä tarkasteltaessa. Matematiikassa vektorinormin käsite kuvaa vektorin pituutta tai suuruutta. Vektorinormille on neljä aksioomaa, joiden täytyy olla voimassa. Nämä ovat ei-negatiivisuus, positiivisuus, homogeenisuus ja kolmioepäyhtälö. Matriisinormi on puolestaan matemaattinen käsite, joka laajentaa vektorinormin idean matriiseihin. Matriisinormi on mitta, joka kertoo kuinka ”suuri” tai ”laaja” matriisi on. Vektorinormin neljä aksioomaa pätevät myös matriisinormille, mutta näiden aksioomien lisäksi submultiplikatiivisuuden täytyy olla voimassa. Matriisinormien sovelluskohteina ovat esimerkiksi matriisien virheanalyysi ja virheiden arviointi. Näihin tutustutaan tarkemmin tutkielman loppupuolella. Matriisille saadaan määriteltyä kohtalaisen helposti häiriöalttiusluku, mikä mittaa mm. matriisin alkioissa ilmentyvien pyöristysvirheiden suuruutta. Matriisin häiriöalttiusluku riippuu valitusta matriisinormista. Mitä suurempi häiriöalttiusluku on, sitä alttiimpi matriisi on virheille.