Lien matriisiryhmät ja Lien algebrat - Elomaa, Esko (2025)
Tämän tutkielman aiheita ovat Lien matriisiryhmät, Lien algebrat sekä Baker-Campbell-Hausdorffin kaava. Lien matriisiryhmät ovat matriisien muodostamia joukkoja, joille on asetettu laskutoimitukseksi matriisien kertolasku, ja tälle laskutoimitukselle pätevät ryhmän ominaiset aksioomat. Lien matriisiryhmistä näytetään esimerkkejä ja niihin liittyviä topologisia ominaisuuksia. Lien algebrat ovat Lien matriisiryhmistä nousevia äärellisulotteisia avaruuksia, joille on asetettu ominainen kuvaus nimeltä Lien sulkuoperaatio. Lien matriisiryhmän Lien algebralle asetettu Lien sulkuoperaatio on kahden matriisin välinen kommutaattori, joka on erityinen matriisien kertolaskun epävaihdannaisuuden takia. Lien teorian ohella esitetään matriisin eksponenttikuvaus sekä matriisin logaritmi. Kaikille neliömatriiseille nämä ovat laskettavissa, ja esimerkkejä näytetään matriisieksponentin laskemisesta erityisille matriiseille, kuten diagonalisoituville matriiseille. Matriisien eksponentti- ja logaritmikuvaus toimivat toistensa käänteiskuvauksina vain silloin, kun matriisit rajoitetaan yksikkömatriisin tietynkokoisen ympäristön sisälle. Baker-Campbell-Hausdorffin kaava on tärkeä ja hyödyllinen apuväline matriisin eksponentin logaritmin selvittämisessä. Esimerkkinä katsotaan Heisenbergin ryhmää, joka muotonsa vuoksi antaa helposti käsinlaskettavan tapauksen. BCH-kaavan tärkeys juontuu matriisien epävaihdannaisuudesta: jos kaksi matriisia olisivat vaihdannaisia, niin tällöin niiden välinen kommutaattori olisi nollaa, ja matriisieksponentit olisivat myös vaihdannaisia, jolloin tilanne on paljon yksinkertaisempi. BCH-kaavan hyödyllisyys tuleekin juuri esille epävaihdannaisilla matriiseilla, joista mielenkiintoisimmat tapaukset saadaan tehtyä.