Minimoijat ja p-Laplacen yhtälö - Vilkki, Saana (2025)
Tässä tutkielmassa osoitetaan p-Laplacen yhtälön ratkaisujen olemassaolo ja yksikäsitteisyys. Tämä ongelma on erikoistapaus Hilbertin 20. ongelmasta, joka käsittelee variaatiolaskennan säännöllisten ongelmien ratkaisujen olemassaoloa. Kyseinen yhtälö on klassisen Laplacen yhtälön ∆u = 0 yleistys, ja molemmilla yhtälöillä on laaja sovellettavuus niin matematiikassa kuin fysiikassa. Tutkielman alussa muodostetaan perusta differentiaaliyhtälöiden tarkastelulle. Keskeisenä tavoitteena on määritellä L p -avaruudet ja Sobolevin avaruudet sekä osoitetaan Hölderin epäyhtälö, jota hyödynnetään tutkielmassa useissa kohdissa. Sobolevin avaruuksien avulla määritellään heikot ratkaisut Laplacen ja p-Laplacen yhtälöille. Sobolevin avaruuksia käsitellessä keskeisimpinä tuloksina osoitetaan Sobolevin avaruuden täydellisyys ja määritellään Sobolevin nolla-avaruus. Tutkielman loppuosassa käsitellään Laplacen yhtälön ja p-Laplacen yhtälön heikkoja ratkaisuja variaatiointegraalin avulla. Ratkaisujen olemassaolon todistamista varten osoitetaan, että yhtälön variaatiointegraalin minimoijat ovat samat kuin heikot ratkaisut.