| Summary: | Tässä tutkielmassa osoitetaan p-Laplacen yhtälön ratkaisujen olemassaolo ja
yksikäsitteisyys. Tämä ongelma on erikoistapaus Hilbertin 20. ongelmasta,
joka käsittelee variaatiolaskennan säännöllisten ongelmien ratkaisujen olemassaoloa. Kyseinen yhtälö on klassisen Laplacen yhtälön ∆u = 0 yleistys,
ja molemmilla yhtälöillä on laaja sovellettavuus niin matematiikassa kuin
fysiikassa.
Tutkielman alussa muodostetaan perusta differentiaaliyhtälöiden tarkastelulle. Keskeisenä tavoitteena on määritellä L
p
-avaruudet ja Sobolevin avaruudet sekä osoitetaan Hölderin epäyhtälö, jota hyödynnetään tutkielmassa
useissa kohdissa. Sobolevin avaruuksien avulla määritellään heikot ratkaisut
Laplacen ja p-Laplacen yhtälöille. Sobolevin avaruuksia käsitellessä keskeisimpinä tuloksina osoitetaan Sobolevin avaruuden täydellisyys ja määritellään Sobolevin nolla-avaruus.
Tutkielman loppuosassa käsitellään Laplacen yhtälön ja p-Laplacen yhtälön heikkoja ratkaisuja variaatiointegraalin avulla. Ratkaisujen olemassaolon
todistamista varten osoitetaan, että yhtälön variaatiointegraalin minimoijat
ovat samat kuin heikot ratkaisut.
|
|---|