Rieszin esityslause ja sen sovelluksia kiinnitetyn kalvon mekaniikassa - Korhonen, Anni (2023)
Tässä pro gradu-tutkielmassa esitellään ja todistetaan Rieszin esityslause sekä tarkastellaan sen soveltamista kalvon mekaniikan ongelmissa. Yksinkertaistetusti Rieszin esityslauseen mukaan Hilbertin avaruudessa, joka on täydellinen sisätuloavaruus, jatkuvat lineaariset funktionaalit voidaan esittää siten, että funktionaalia vastaa yksikäsitteisen alkio, ja funktionaalin arvo on muuttujan sisätulo kyseisen alkion kanssa. Lisäksi funktionaalin normi on yhtäsuuri Hilbertin avaruudessa määritellyn yksikäsitteisen alkion normin kanssa. Tuloksen esittämistä varten tutkielmassa käsitellään muun muassa metrisiä avaruuksia sekä tutustutaan lineaarisiin operaattoreihin. Työssä tarkastellaan myös normiavaruuksia, Lebesgue-avaruuksia, sisätuloavaruuksia ja esitellään Hilbertin avaruus. Lisäksi tutustutaan yleiseen approksimaatioongelmaan, jonka idea perustuu kompleksiarvoisten minimoivien alkioiden löytämiseen. Rieszin esityslauseen sovelluksena tutustutaan kalvon mekaniikkaan. Näytetään, että kiinnitetyn värähtelevän kalvon ominaisarvo-ongelma voidaan esittää yksinkertaistetussa muodossa jatkuvan lineaarisen funktionaalin avulla, jonka jälkeen sovelletaan Banachin kiintopistemenetelmää ominaisarvojen tulkintaan. Tutkielmassa osoitetaan, että vaikka Rieszin esityslauseen avulla ei saada konkreettista lukuarvoa yhtälön ratkaisulle, niin ratkaisun luonnetta pystytään kuitenkin tarkastelemaan yksinkertaistetun muodon ansiosta.